Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.
Twierdzenie Jeśli i są elementami rzeczywistej przestrzeni unitarnej to prawdziwy jest następujący wzór, nazywany tożsamością polaryzacyjną:
Zastępując w równaniu przez otrzymuje się wzór
co odpowiada równości występującej w twierdzeniu cosinusów.
Dodanie równań oraz daje
co odpowiada tożsamości równoległoboku.
Z kolei odejmując stronami od , dostaje się
Warto zauważyć analogie powyższych wzorów do następujących wzorów skróconego mnożenia: równanie odpowiada , a równanie odpowiada , a powyższa suma oraz poniżej sumie i . Tożsamość jest odpowiednikiem wzoru na kwadrat dwumianu:
z kolei w , podobnie jak wyżej, zmieniono znak
ostatecznie suma i , to
Wyprowadzenie Każdą przestrzeń unitarną da się w naturalny sposób wyposażyć w normę, daną wzorem
Iloczyn skalarny
jest wynikiem rozdzielności pierwszego czynnika względem sumy drugiego składnika, która zachodzi ze względu na liniowość iloczynu skalarnego. Rozdzielność kolejnych czynników względem sum pierwszych czynników po prawej stronie powyższego równania daje
a ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny, to równanie to upraszcza się dalej do
Przyłożenie definicji normy z równania do daje równanie , czyli tożsamość polaryzacyjną.
Uogólnienia Tożsamości mogą być uogólnione na wielomiany jednorodne (tj. formy algebraiczne) dowolnego stopnia.
Linki zewnętrzne Polarization identity , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Hilberta Kategoria:Twierdzenia algebry liniowej Kategoria:Formy kwadratowe P