Zasada najmniejszego działania Hamiltona – zasada wariacyjna służąca do znajdowania równań ruchu układów fizycznych złożonych z jednej lub wielu cząstek. Zasada ta została podana przez Williama R. Hamiltona w 1834 roku i stanowi jedną z fundamentalnych zasad fizyki klasycznej (porównaj: fizyka kwantowa).
Działanie Hamiltona Działaniem Hamiltona obliczonym dla trajektorii w przestrzeni konfiguracyjnej układu fizycznego, łączącej punkt w chwili z punktem w chwili nazywamy całkę z funkcji Lagrange’a danego układu fizycznego, tj.
Działanie zależy od trajektorii wzdłuż której się je liczy.
Przykład Dla cząstki swobodnej w przestrzeni funkcja Lagrange’a jest po prostu równa energii kinetycznej
gdzie:
Na podstawie zasady Hamiltona (patrz niżej) można wyprowadzić równanie Eulera-Lagrange’a, które jest równaniem ruchu cząstki o takiej funkcji Lagrange’a – w tym wypadku otrzyma się równanie Newtona w postaci
Zasada Hamiltona link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Least_action_principle.svg|mały|250x250px|Gdy układ porusza się, to punkt q opisujący jego stan w przestrzeni konfiguracyjnej kreśli trajektorię. Spośród wielu możliwych trajektorii łączących dane punkty (q1, t1) oraz (q2, t2) (niebieskie linie) rzeczywista trajektoria układu (czerwona) daje ekstremum działania (δS = 0) – niewielkie zmiany δq tej trajektorii nie zmieniają działania. Zasada Hamiltona głosi, że:
Rzeczywisty układ fizyczny porusza się po trajektorii, dla której działanie Hamiltona przyjmuje wartość stacjonarną (tj. minimum, maksimum lub punkt przegięcia), przy czym w obliczaniu działania rozważa się wszystkie możliwe trajektorie łączące zadany punkt początkowy i końcowy w zadanym czasie.
Jeżeli punkty te leżą blisko siebie, to działanie ma minimum (stąd nazwa: zasada najmniejszego działania).
Jednak w ogólności zasada Hamiltona jest zasadą stacjonarnego działania: przy wariowaniu toru rzeczywistego działanie nie zmieni się w pierwszym rzędzie, a to oznacza, że działanie ma wartość stacjonarną, analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej, gdzie zerowanie się pochodnej oznacza przyjęcie przez funkcję wartości stacjonarnej (tj. minimum, maksimum lub w punkcie przegięcia).
Inaczej mówiąc, zasada Hamiltona oznacza, że wariacja działania przyjmuje wartość równą zeru
Zasada Hamiltona prowadzi do równań Eulera-Lagrange’a.
Podejście teleologiczne a determinizm Zasada najmniejszego działania wydaje się być przykładem tak zwanego podejścia teleologicznego: układ porusza się między dwoma punktami tak, by zrealizować pewien cel (tu: sprawiać, by działanie było stacjonarne). Jednak jest to tylko pozorne, bowiem zasada Hamiltona jest równoważna równaniom Eulera-Lagrange’a (choć nie w każdych warunkach), te zaś stanowią układ równań różniczkowych, które implikują deterministyczny (przyczynowy) ruch układu.
Inne zasady wariacyjne zasada Jacobiego zasada Fermata
Zobacz też lagranżjan
Przypisy
Bibliografia Chris G. Gray, Principle of least action, Scholarpedia, 2009.
Linki zewnętrzne Derek Muller, The Closest We’ve Come to a Theory of Everything , kanał „Veritasium” na YouTube, 29 października 2024 [dostęp 2026-01-06].
Kategoria:Mechanika analityczna Kategoria:Prawa mechaniki Kategoria:William Rowan Hamilton