thumb|Translacja przesuwa każdy punkt figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku

Translacja, przesunięcie równoległe – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez jej deformacji i obracania.

Definicja Niech będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej

Translacją nazywamy przekształcenie dane wzorem:

Wektor nazywamy wektorem translacji.

Niekiedy także obraz figury w przekształceniu nazywa się translacją figury o wektor i oznacza

Własności Jeśli to translacja jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś to nie ma żadnego punktu stałego.

Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.

Translacja w przestrzeniach euklidesowychTo jest w przestrzeniach afinicznych stowarzyszonych z przestrzenią liniową wyposażoną w iloczyn skalarny. jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.

Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji i dowolnej izometrii przekształcenie też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.

Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.

Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są: kierunek (tzn. klasa prostych równoległych), odległość punktów, orientacja przestrzeni.

Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.

Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne Geometria – izometrie – przesunięcie równoległe, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27].

Kategoria:Izometrie Kategoria:Funkcje pierwszego stopnia