Zbiór przechodni, zbiór tranzytywny – zbiór o tej własności, że jeżeli oraz to Innymi słowy, zbiór przechodni to zbiór o tej własności, że elementy jego elementów są również jego elementami. Powyższa definicja w naturalny sposób przenosi się na klasy właściwe.
Własności Zbiór jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy
W teorii Zermela-Fraenkla (i innych, które nie dopuszczają, by klasy właściwe były elementami zbiorów) zbiór jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy
Zbiory przechodnie wykorzystywane są do alternatywnej definicji liczb porządkowych: każdy zbiór przechodni i liniowo uporządkowany ze względu na relację jest dobrze uporządkowany (por. aksjomat regularności), a zatem porządkowo izomorficzny z pewną liczbą porządkową. W ZF przekrój zbioru przechodniego jest zbiorem przechodnim. Jeżeli ZFC− ozacza teorię ZFC bez aksjomatu regularności, to istnieje model ZFC−, w którym istnieje zbiór przechodni, którego przekrój nie jest zbiorem przechodnimMarcin Kysiak: A note on transitive sets without the foundation axiom. „Reports on Mathematical Logic”, 40 (2006), s. 159–163 ..
Domknięcie przechodnie Każdy zbiór zawarty jest w pewnym zbiorze przechodnim. Najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór przechodni, w którym zawarty jest zbiór nazywa się jego domknięciem przechodnim i oznacza często Domknięcie przechodnie można opisać jako:
Zobacz też domknięcie przechodnie relacji uniwersum konstruowalne zbiór induktywny
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Liczby porządkowe