Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.
Twierdzenie Niech ciągi oraz liczb rzeczywistych będą jednomonotoniczne, tzn. takie, że zachodzą nierówności: i lub i Wówczas prawdziwe są nierówności:
gdzie jest dowolną permutacją ciągu
Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.
Dowodzenie prawidłowości twierdzenia Niech będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości i niech będzie permutacją na zbiorze Wówczas tezę możemy sapisać następująco
Skupimy się na pierwszej z nierówności, gdyż druga już z niej wynika dość łatwo. Dowód będzie indukcyjny
Oczywiście dla ciągów o długości jeden teza jest oczywista.
Załóżmy zatem, że dowodzona nierówność zachodzi dla ciągów długości i niech będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości Niech ponadto będzie permutacją zbioru Jeśli to jest permutacją zbioru i wówczas
Załóżmy zatem, że i niech dla
Oczywiście jest permutacją na zbiorze
Ponadto mamy
oraz
skąd natychmiast
co należało dowieść.
Druga nierówność wynika z zastosowania pierwszej do ciągu
Linki zewnętrzne Rearrangement Inequality , brilliant.org [dostęp 2025-06-14]. Reverse Rearrangement Inequality , brilliant.org [dostęp 2025-06-14].
Kategoria:Nierówności O