Liczby podwójne (zwane także liczbami hiperbolicznymi) – wyrażenia algebraiczne postaci
gdzie , oraz
Tworzą one rzeczywistą algebrę przemienną z jednością, która – w przeciwieństwie do liczb zespolonych – posiada dzielniki zera.
Motywacja i znaczenie Liczby podwójne pojawiają się naturalnie jako algebraiczny odpowiednik geometrii o sygnaturze hiperbolicznej. W odróżnieniu od liczb zespolonych, które są związane z geometrią euklidesową i obrotami, liczby podwójne opisują transformacje typu „rozciągnięcie–ściśnięcie” i są powiązane z geometrią Minkowskiego oraz z transformacjami Lorentza w fizyce teoretycznej.
Z algebraicznego punktu widzenia stanowią jeden z podstawowych przykładów dwuwymiarowej, przemiennej algebry nad ciałem liczb rzeczywistych.
Konstrukcja Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych
z następującymi działaniami:
Para jest elementem neutralnym mnożenia, a
Otrzymana struktura jest pierścieniem przemiennym z jednością i z dzielnikami zeraZ tego względu termin „liczby” bywa uznawany za nieco mylący – w algebrze przez liczby rozumie się zwykle elementy ciała..
Dzielniki zera mają postać lub , gdyż dla dowolnych zachodzi
Postać kanoniczna Podobnie jak w przypadku liczb zespolonych, każdą liczbę podwójną można zapisać w postaci
gdzie
Dla liczby niebędącej dzielnikiem zera (tj. ) istnieje element odwrotny dany wzorem
Interpretacja macierzowa Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy rzeczywistych stopnia drugiego:
w szczególności
Przykłady
Zastosowania Liczby podwójne znajdują zastosowania m.in. w: geometrii hiperbolicznej i pseudoeuklidesowej, opisie transformacji Lorentza w dwuwymiarowej czasoprzestrzeni, teorii algebr rzeczywistych niskiego wymiaru, analizie porównań z innymi uogólnieniami liczb zespolonych, takimi jak liczby dualne.
Zobacz też liczby zespolone liczby dualne algebra Clifforda
Uwagi
Bibliografia
Linki zewnętrzne Double and dual numbers , Encyclopedia of Mathematics
Kategoria:Algebry nad ciałem