Twierdzenie japońskie o wielokącie wpisanym – twierdzenie w geometrii euklidesowej, które stwierdza, że niezależnie od sposobu triangulacji wielokąta cyklicznego, suma promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty jest stała. 310x310px310x310pxSuma promieni czerwonych okręgów jest równa sumie promieni zielonych okręgów.
Dowód Rozważmy dowolny wielokąt cykliczny , który zostanie podzielony na trójkąty przez triangulację. Otrzymujemy zestaw trójkątów, a dla każdego z nich możemy skonstruować okrąg wpisany, którego promień oznaczymy przez , gdzie to numer trójkąta. Twierdzenie japońskie stwierdza, że suma tych promieni jest stała, niezależnie od wybranego sposobu triangulacji.
Rozpocznijmy dowód od przypadku szczególnego – dla czworokąta cyklicznego . Przekątne tego czworokąta dzielą go na cztery trójkąty: , , , .
Zbudujmy okręgi wpisane w te trójkąty i oznaczmy promienie tych okręgów przez . Twierdzenie japońskie twierdzi, że suma tych promieni jest stała, niezależnie od wybranej triangulacji. Dowód tego przypadku opiera się na tym, że dla dowolnej triangulacji czworokąta cyklicznego, suma promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty nie zmienia się.
Rozważmy dwa przypadki triangulacji czworokąta:
W pierwszym przypadku, podzielmy czworokąt na trójkąty i oraz i . - W drugim przypadku, podzielmy czworokąt na trójkąty i oraz i .
Niezależnie od wybranej triangulacji, suma promieni okręgów wpisanych w trójkąty pozostaje ta sama. Dowód tego opiera się na twierdzeniu japońskim o czworokącie wpisanym. Środki tych okręgów tworzą prostokąt, a jego boki mają długości związane z promieniami okręgów wpisanych. Z tej własności wynika, że suma promieni dwóch par okręgów wpisanych jest równa, co dowodzi twierdzenia w przypadku czworokąta.
Po udowodnieniu przypadku czworokąta, przechodzimy do ogólnego przypadku dla wielokąta cyklicznego. Podzielmy wielokąt na trójkąty za pomocą triangulacji. W każdym przypadku, niezależnie od sposobu triangulacji, suma promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty pozostaje stała.
Zasada ta wynika z faktu, że triangulacja może być zmieniana poprzez "obracanie" przekątnych, przy czym suma promieni okręgów wpisanych jest zachowywana w każdym przypadku. Dlatego suma promieni okręgów wpisanych w trójkąty powstałe przez triangulację wielokąta cyklicznego jest stała, q.e.d.
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o okręgach i wielokątach