Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.
Opis matematyczny Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:
gdzie: – energia -tego stanu, – potencjał chemiczny.
Energia wewnętrzna gazu Fermiego Do dalszych obliczeń przyjmiemy
Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:
gdzie: – gęstość stanów, – masa fermionów, – stała Plancka, – objętość, w której znajdują się fermiony, – rozkład Fermiego-Diraca, – czynnik Boltzmanna,
Stosując proste podstawienie otrzymujemy:
Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 Ostatecznie otrzymujemy:
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:
otrzymujemy:
Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:
Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.
Ciśnienie gazu Fermiego Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:
Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy
gdzie: – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd
Zobacz też ciecz Fermiego kondensat Bosego-Einsteina kondensat fermionów materia zdegenerowana
Przypisy
Kategoria:Mechanika kwantowa