Całka Birkhoffa – jedno z możliwych pojęć całki dla funkcji o wartościach w przestrzeniach Banacha, wprowadzone przez Garretta Birkhoffa w roku 1935G. Birkhoff, Integration of functions with values in a Banach space, Transactions of the American Mathematical Society 38 (1935), no. 2, s. 357–378.. Pojęcie całkowalności funkcji w sensie Birkhoffa jest silniejsze od całkowalności sensie Pettisa, ale słabsze od całkowalności w sensie Bochnera.
Konstrukcja Niech będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną oraz będzie przestrzenią Banacha. Przeliczalną rodzinę nazywamy partycją przestrzeni jeżeli
Jeżeli jest partycją przestrzeni to funkcję nazywamy sumowalną względem partycji (albo -sumowalną) jeżeli dla każdego zbioru takiego, że funkcja jest ograniczona oraz zbiór składa się z szeregów bezwarunkowo zbieżnych, gdzie
Funkcję nazywamy całkowalną w sensie Birkhoffa jeżeli dla każdego istnieje partycja zbioru względem której funkcja jest sumowalna oraz
Twierdzenie Birkhoffa: Jeżeli jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to
W powyższym wzorze cl oznacza domknięcie zbioru w sensie normy przestrzeni X natomiast conv oznacza otoczkę wypukłą.
Jeżeli jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to jedyny punkt zbioru
nazywamy całką Birkhoffa z funkcji względem miary i oznaczamy
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie Banacha