mały|Tabela podstawowych transformacji Z. Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.
Rys historyczny Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku i Lotfi Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.
Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne, jako że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartleya itp.).
Nieco później wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.
Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.
Definicja Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu jest nazywana funkcja:
określona wzorem:
gdzie: – transformata oryginału; – oryginał dyskretny;
Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza; np. dla funkcji lub nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.
Własności Liniowość
Przesunięcie w dziedzinie czasu
gdzie – dowolna dodatnia liczba całkowita; – funkcja skokowa.
Transformata sumy
Transformata różnicy
Splot
Twierdzenie o wartości początkowej
Twierdzenie o wartości końcowej Jeśli istnieje granica, to ma ona wartość:
Tabela transformat W poniższej tabeli przyjęto, że:
Lp. transformata Z, obszar zbieżności 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Przykłady Przykład 1 Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera,
Rozwiązanie
Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:
Korzystając z definicji otrzymujemy:
stąd:
Przykład 2 Wyprowadź wzór na transformatę ciągu zdefiniowanego następująco:
Rozwiązanie
Zauważmy, że ciąg można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:
Zatem:
Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem Szereg jest zbieżny gdy co oznacza, że:
Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej nierówność jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu Gdy transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:
Przykład 3 Wyprowadź wzór na transformatę ciągu
Rozwiązanie
Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:
Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:
Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej nierówność jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu Gdy transformata istnieje i jest równa:
Przykład 4 Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego
Rozwiązanie
Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że: gdzie
stąd:
Obszar zbieżności jest opisany nierównością
Powiązanie z transformatą Fouriera Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z dla
lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.
Powiązanie z transformatą Laplace’a
Zobacz też transformata z gwiazdką zmodyfikowana transformata Z Inne: transformata Fouriera transformata Laplace'a
Przypisy
Bibliografia Jacek Wojciechowski, Sygnały i systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008. Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004. Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-13].
Kategoria:Transformaty Kategoria:Cyfrowe przetwarzanie sygnałów