Miara ściśle dodatnia – miara, która „nigdzie nie znika” lub też „zeruje się tylko w punktach”.
Definicja formalna Niech będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś będzie σ-algebrą na zawierającą topologię co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na Miarę określoną na nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty jest dodatniej miary.
W zwięźlejszym zapisie: jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy
Przykłady Miara licząca określona na dowolnym zbiorze (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia. Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli jest wyposażona w trywialną topologię to jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary. Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona. miara Wienera na przestrzeni dróg w jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni. Miara Lebesgue’a na (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia. Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.
Własności Jeżeli są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej przy czym jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem to także jest ściśle dodatnia. Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.
Zobacz też nośnik miary: miara jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy jej nośnikiem jest cała przestrzeń.
Kategoria:Miary (teoria miary)