thumb|Jeż z dużą, ale skończoną, liczbą kolców
Jeż – przykład przestrzeni metrycznej zlepionej z kolców złączonych w jednym punkcie, co sprawia, iż przypomina ona swoim wyglądem jeża.
Dla dowolnej liczby kardynalnej jeżem o kolcach nazywa się przestrzeń zdefiniowaną jako zbiór kopii przedziałów jednostkowych utożsamionych w punkcie 0; każdy taki przedział nazywa się kolcem jeża.
Konstrukcja Niech będzie zbiorem nieskończonej mocy przy czym dla każdej liczby dalej wykorzystywane będą oznaczenia:
oraz
Dowodzi się, że relacja określona na warunkiem: wtedy i tylko wtedy, gdy i lub
jest relacją równoważności. Wzór
określa metrykę w zbiorze klas abstrakcji
Słownie metrykę tę można opisać następująco: zwykła odległość euklidesowa dla punktów, które leżą na tym samym kolcu, i odległość równa sumie odległości euklidesowych od zera obu punktów, gdy leżą one na innych kolcach. Tak zdefiniowaną metrykę nazywa się metryką kolejową, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego bądź paryskąW ten sposób metryka kolejowa zawężona do koła jednostkowego jest jeżem, przy czym jest mocy continuum..
Przestrzeń ilorazową relacji wyposażoną w metrykę nazywa się jeżem z kolcami i oznacza
Własności Dla każdej liczby przekształcenie odcinka [0,1] w jeża dane wzorem jest zanurzeniem homeomorficznym. Bazą przestrzeni jest rodzina kul otwartych o promieniach wymiernych i środkach w punktach postaci gdzie jest liczbą wymierną oraz Wynika stąd, że waga przestrzeni jest nie większa od Z drugiej strony podprzestrzeń przestrzeni złożona z punktów postaci jest przestrzenią dyskretną mocy stąd waga przestrzeni jest równa Twierdzenie Kowalsky’ego: Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze Innymi słowy, każda przestrzeń metryczna wagi jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu przeliczalnie wielu kopii jeża z kolcamiSwardson, M. A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979), s. 188. pdf..
Zobacz też bukiet grzebień miotełka Knastera-Kuratowskiego prosta Aleksandrowa
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych