Hipoteza abc (hipoteza Oesterle-Massera, hipoteza ABC) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku.
Sformułowanie problemu Przed sformułowaniem hipotezy wprowadzić należy kilka pojęć.
Niech dane będą względnie pierwsze liczby całkowite dodatnie spełniające równość
Zdefiniujemy następujące funkcje:
gdzie oznacza część bezkwadratową iloczynu czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych będących dzielnikami liczb (na przykład: ponieważ w rozkładzie 12, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).
Wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele takich trójek liczb że Hipoteza ABC jest natomiast przypuszczeniem, że Dla każdej liczby istnieje co najwyżej skończenie wiele trójek liczb spełniających warunek
czyli, w szczególności, że istnieje skończenie wiele trójek spełniających: itd.
Dowód W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC. Dowód jest w trakcie weryfikacji. W 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix opublikowali raport ukazujący błędy dowodu. Mochizuki nie zgodził się z krytyką, a 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku w uczelnianym czasopiśmie naukowym „”. Kontrowersje budzi jednak fakt, że Mochizuki był jego redaktorem naczelnym. Prawdziwość dowodu wciąż zostaje niepotwierdzona, a zdania na temat jej autentyczności są sporne.
Poszukiwania W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Lejdzie, we współpracy z holenderskim projektem naukowym w Kennislink (Muzeum Nauki Nemo) rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie trójek spełniających nierówność
Konsekwencje W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich: rozwiązanie twierdzenia Rotha, udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993), udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983), kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych), uogólnienie teorii Tijdemana, rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin, rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro, w 1996 A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta.
Przypisy
Bibliografia Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.
Linki zewnętrzne
[dostęp 2022-07-02]. ABC conjecture , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb A