Równanie całkowe Fredholma – równanie całkowe postaci
gdzie funkcje oraz liczba są ustalone natomiast funkcja jest szukana.
Zwykle o zbiorze zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni Funkcję nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:
Twierdzenie Fredholma Niech Wówczas Równanie ma dla każdej prawej strony niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania
jest funkcja tożsamościowo równa zeru. Jeśli ma niezerowe rozwiązanie to istnieje również niezerowe rozwiązanie równania
ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach. Jeżeli równanie ma niezerowe rozwiązanie to równanie ma rozwiązanie dla danej prawej strony wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego spełniającego równanie Zbiór wszystkich liczb dla których ma niezerowe rozwiązanie jest albo skończony albo tworzy ciąg taki, że
Uwagi o dowodzie Dowód twierdzenia Fredholma opiera się całkowicie na alternatywie Fredholma oraz następującej obserwacji – jeżeli oraz
dla to operator jest liniowy i ciągły. operator jest zwarty operator jest również zwarty oraz
Nazwa równania pochodzi od nazwiska szwedzkiego matematyka Fredholma.
Zobacz też równanie całkowe Abela równanie całkowe Volterry
Przypisy
Bibliografia L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. .
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-13]. [dostęp 2025-12-13]. Fredholm equation , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Równania całkowe