thumb|280px|Funkcja gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego Wielowymiarowy rozkład normalny – rozkład wielowymiarowej zmiennej losowej, będący uogólnieniem rozkładu normalnego na n wymiarów.
Definicja n-wymiarowa zmienna losowa podlega n-wymiarowemu rozkładowi normalnemu jeśli dowolna kombinacja liniowa jej składowych ma rozkład normalny.
Funkcja gęstości n-wymiarowego rozkładu normalnego wektora losowego o wektorze wartości oczekiwanych i macierzy kowariancji dana jest wzorem:
Oznacza się to w skrócie zapisem
Niezależność zmiennych Dla wielowymiarowego rozkładu normalnego jeśli składowe wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie normalnym są niezależne to są nieskorelowane i odwrotnie, jeśli są nieskorelowane to są niezależne. Wówczas funkcja gęstości wektora losowego jest iloczynem funkcji gęstości każdej ze zmiennych:
Zmienne losowe (nawet nieskorelowane) o rozkładzie normalnym nie muszą razem tworzyć wektora o wielowymiarowym rozkładzie normalnym. Wówczas powyższa zależność nie musi być prawdziwa.
Na przykład niech niech będzie zmienną losową przyjmującą wartości 1 i –1 z równym prawdopodobieństwem 0,5, niezależną od oraz niech Wówczas i są nieskorelowane, normalne, ale są zależne. Nie tworzą one jednak wielowymiarowego rozkładu normalnego. Cała masa prawdopodobieństwa ich wspólnego rozkładu znajduje się na prostych podczas gdy nośnikiem wielowymiarowego rozkładu normalnego jest cała płaszczyzna W szczególności zmienna ma rozkład mieszany (dyskretno-ciągły), i z prawdopodobieństwem 0,5 przyjmuje wartość 0, a więc nie jest spełniona definicja wielowymiarowego rozkładu normalnego: pewna kombinacja liniowa składowych wektora losowego nie ma rozkładu normalnego.
Estymacja parametrów Mając dane wektorów pobranych z pewnego wielowymiarowego rozkładu normalnego o wektorze wartości oczekiwanych i macierzy kowariancji możemy oszacować jego parametry w następujący sposób:
Estymator wartości oczekiwanej:
Estymator macierzy kowariancji o największej wiarygodności:
Estymator nieobciążony macierzy kowariancji:
Symulacja W celu uzyskania wektora losowego o rozkładzie danym przez wektor średnich i macierz kowariancji postępuje się według następującego algorytmu: Stosuje się rozkład Choleskiego względem macierzy tak by otrzymać macierz dla której zachodzi: Tworzy się wektor n niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym, stosując np. metodę Boxa-Mullera. Szukany wektor to
Zobacz też odległość Mahalanobisa
Kategoria:Rozkłady ciągłe