Ideał prymarny – dla danego pierścienia przemiennego ideał o tej własności, że jeżeli oraz to istnieje taka liczba naturalna że
Przykładem ideału prymarnego jest ideał generowany przez element gdzie jest dowolną liczbą naturalną, a jest elementem pierwszym. W pierścieniu liczb całkowitych wszystkie ideały prymarne są tej postaci (elementami pierwszymi tego pierścienia są po prostu liczby pierwsze). Istnieją mimo to pierścienie, w których ideały prymarne mają także inną postać. Na przykład jeżeli jest ciałem oraz oznacza pierścień wielomianów zmiennych i to ideał generowany przez wielomiany i jest prymarny w
Jeżeli jest ideałem, to zbiór ideałów prymarnych nazywany jest rozkładem prymarnym ideału gdy [dostęp 2025-12-04].:
Własności Każdy ideał pierwszy jest prymarny. Ideał jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy nie jest trywialny oraz każdy jego dzielnik zera jest nilpotentny. Jeżeli i są ideałami przy czym to jest prymarny w wtedy i tylko wtedy, gdy jest prymarny w Jeżeli jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to
Twierdzenie Laskera-Noether Twierdzenie Laskera-Noether mówi, że każdy ideał pierścienia noetherowskiego ma rozkład prymarny.
Pierścienie, dla których zachodzi teza twierdzenia Laskera-Noether, nazywane są pierścieniami Laskera. Istnieją pierścienie Laskera, które nie są noetherowskie, tzn. rozkład prymarny ideału można przeprowadzić także w pierścieniach innych niż noetherowskie. Powyższe twierdzenie zostało udowodnione w szczególnym przypadku (dla pierścieni wielomianów) w 1905 roku przez Emanuela LaskeraEmanuel Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Mathematische Annalen, 60 (1905), 19–116. oraz w pełnej ogólności, w 1921 roku, przez Emmy NoetherEmmy Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen, 83 (1921). 24– 66..
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Primary ideal , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Podzbiory pierścieni