thumb|Nieformalnie miara przypisuje zbiorom nieujemne liczby rzeczywiste tak, by większym zbiorom odpowiadały większe liczby. Miara – funkcja przypisująca mierzalnym podzbiorom ustalonego zbioru nieujemne wartości liczbowe lub w taki sposób, że zbiór pusty ma miarę zero, a miara sumy przeliczalnej rodziny parami rozłącznych zbiorów jest równa sumie ich miar.

Pojęcie miary wyrosło z potrzeby uogólnienia takich pojęć geometrii elementarnej, jak długość odcinka, pole prostokąta i objętość prostopadłościanu oraz pojęć pokrewnych: długość krzywej, pole powierzchni figury płaskiej i objętość w przestrzeni trójwymiarowej. Jednym z najważniejszych osiągnięć w tym zakresie były prace Henriego Lebesgue’a. Wprowadzona przez niego miara Lebesgue’a stanowi uogólnienie tych pojęć na podzbiory wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej . Na przykład dla przedziału -wymiarowego jej wartość jest iloczynem długości jego krawędzi . Istotnym elementem teorii Lebesgue'a było precyzyjne określenie, które zbiory można uznać za mierzalne. Dzięki temu przełamano impas związany z próbami określenia miar niektórych zbiorów w , jak np. zbiór Vitalego, który jest niemierzalny w sensie Lebesgue'a.

Na danym zbiorze można określać różne miary. Np. dla zbioru zawierającego 10 odróżnialnych kostek do gry w różnych kolorach możemy zdefiniować miary: miarę licząca czerwone kostki, która każdemu podzbiorowi przypisuje liczbę czerwonych kostek należących do tego podzbioru, miarę Diraca skupioną na ustalonej kostce, która każdemu podzbiorowi przypisuje wartość 1, jeśli zawiera on tę kostkę, oraz 0 w przeciwnym przypadku, miarę prawdopodobieństwa, określoną na przestrzeni wyników doświadczenia losowego; przykładowo, przy jednoczesnym rzucie 10 kostkami miara prawdopodobieństwa jest określona na zbiorze wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego, jakie mogą się pojawić. Zdarzeniu „suma wyrzuconych oczek jest większa niż 30” odpowiada podzbiór , którego miara określa prawdopodobieństwo zajścia tego zdarzenia.

itp.

Jeżeli jest niemożliwe lub niepotrzebne przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, to miarę ogranicza się do zbiorów należących do arbitralnie ustalonego σ-ciała. Własnościami miar zajmuje się teoria miary, będąca gałęzią analizy matematycznej. Teoria miary bada σ-ciała, miary, funkcje mierzalne oraz całki.

Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o strukturze bardziej skomplikowanej niż przedziały na prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się w teorii prawdopodobieństwa i w różnych działach analizy matematycznej.

Definicja miary. Miara zbioru Niech dany będzie zbiór nadrzędny , zwany przestrzenią. Niech oznacza wybrane σ-ciało podzbiorów zbioru (jedno z wielu możliwych).

Def. Miarą nazywamy funkcję ze zbioru na zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych taką że:

(1) przypisuje zbiorowi pustemu wartość 0, tj.

(2) jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru, tj. dla każdego ciągu zbiorów parami rozłącznych należących do σ-ciała , , miara sumy zbiorów jest równa sumie ich miar, tj.

Uwaga: Założenie jest równoważne warunkowi nieujemności miary wszystkich zbiorów σ-ciała tj. dla każdego .

Def. Miarą zbioru nazywa się liczbę .

Def. Zbiorem miary zero nazywa się zbiór taki że .

Zbiory mierzalne. Przestrzeń mierzalna Def. Zbiory należące do σ-ciała , na którym określona jest miara , nazywa się zbiorami -mierzalnymi względem albo po prostu mierzalnymi.

Uwaga: Miara określona jest na zbiorach należących do σ-ciała a nie na dowolnych podzbiorach przestrzeni – w ten sposób unika się problemu z miarą na zbiorach niemierzalnych w jak np. zbiór Vitalego, lub też celowo ogranicza się rozważania do ustalonego σ-ciała.

Wybór σ-ciała dla danej przestrzeni tworzy więc unikalną konstrukcję, która nazywa się przestrzenią mierzalną, a wybór konkretnej miary spośród wielu możliwych tworzy tzw. przestrzeń z miarą.

Def. Parę nazywamy przestrzenią mierzalną.

Def. Trójkę nazywamy przestrzenią z miarą.

Miara probabilistyczna Def. Miarą probabilistyczną nazywamy miarę, która przypisuje wartość 1 całej przestrzeni, tj. .

Twierdzenia

Tw. 1 (własności miary) Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech jest ciągiem zbiorów w Miara ma następujące własności:

Skończona addytywność: jeżeli dla , to skończona suma zbiorów ma miarę równą sumie miar poszczególnych zbiorów

Uwaga: Skończona addytywność jest szczególnym przypadkiem addytywności przeliczalnej, którą z założenia ma każda miara. Monotoniczność: jeżeli oraz to

Miara różnicy zbioru i jego podzbioru: jeżeli oraz to

Podaddytywność:

Uwaga: Równość w powyższym wzorze zachodzi, gdy zbiory są parami rozłączne. Ciągłość z dołu: jeśli dla to

Ciągłość z góry: jeżeli oraz to

Uwaga: Powyższa własność jest fałszywa bez założenia skończoności miary przynajmniej jednego zbioru Na przykład niech wtedy wszystkie zbiory są miary nieskończonej, ale iloczyn tych zbiorów jest zbiorem pustym, ma więc miarę równą zero.

Tw. 2 (o granicy miary w punkcie) Jeżeli mamy nieprzeliczalną rodzinę zbiorów , gdzie , spełniającą warunki: (1) (2) (3) to

Dowód: Własność ta wynika z własności o ciągłości z góry. Funkcja jest nieujemna i niemalejąca, zatem ma w początku przedziału taką samą granicę jak miara iloczynu zbiorów

Tw. 3 (o mierze zerowej zbiorów) Niech będzie przestrzenią mierzalną z miarą . Wtedy:

(a1) Dla dowolnych zbiorów

tj. suma przeliczalnej mnogości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.

(a2) Dla dowolnych zbiorów

tj. podzbiór mierzalny zbioru miary zero jest zbiorem miary zero.

(a3) Dla dowolnych zbiorów

tj. dodanie lub odjęcie zbioru miary zero od zbioru mierzalnego nie zmienia wartości jego miary.

Przykłady miar Miara zerowa. Niech będzie σ-ciałem podzbiorów przestrzeni , dla każdego . Funkcja jest miarą.

Miara Diraca. Niech będzie σ-ciałem podzbiorów przestrzeni , Niech

Funkcja jest miarą.

Miara licząca. Dla danego zbioru i dowolnego jego podzbioru niech będzie liczbą elementów zbioru , jeżeli i Funkcja jest miarą określoną na σ-ciele wszystkich podzbiorów przestrzeni . Ważne miary Do ważnych miar należą: miara borelowska miara Diraca miara Haara miara Hausdorffa miara Jordana miara Lebesgue’a miara licząca – przypisuje zbiorom liczby ich elementów miara probabilistyczna miara Radona

Także całki są miarami, np. całka Lebesgue’a całka Riemanna

Do innych ważnych rodzajów zalicza się miary: ergodyczną, Eulera, Gaussa, Baire’a

Miary skończone i σ-skończone

Definicje Niech dana będzie przestrzeń mierzalna z miarą

Def. Miarę nazywa się skończoną, jeżeli miara całej przestrzeni jest skończona, tj. .

Def. Miarę nazywa się półskończoną, jeżeli przestrzeń jest sumą przeliczalnej mnogości zbiorów o mierze skończonej, tj. gdy istnieje ciąg zbiorów mierzalnych takich, że

Def. Miarę nazywa się patologiczną, jeżeli nie jest skończona lub co najmniej σ-skończona.

Przykłady (1) Miarą σ-skończoną jest miara Lebesgue’a określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Istotnie, zbiór można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów o mierze skończonej, tj.

przy czym każdy przedział ma miarę , ale miara całej przestrzeni jest nieskończona,

(2) Miarą patologiczną jest miara licząca określona na prostej rzeczywistej następująco:

a) przypisuje każdemu podzbiorowi skończonemu liczbę jego elementów; np. ,

b) przypisuje każdemu podzbiorowi nieskończonemu wartość ; np. każdy przedział jest zbiorem nieskończonym (a nawet nieprzeliczalnym), dlatego .

Miara ta nie jest skończona, gdyż . Nie nie jest też półskończona: gdyby było przeliczalną sumą zbiorów o skończonej mierze, to każdy byłby skończony, a więc byłby zbiorem przeliczalnym, co jest sprzeczne z nieprzeliczalnością . Miara ta jest więc patologiczna.

Miary zupełne. Zbiory zaniedbywalne (1) Def. Miarę nazywa się zupełną, gdy każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny i w konsekwencji jest zbiorem miary zero.

Pojęcie zupełności miary dotyczy zatem przestrzeni z miarą a dokładniej σ-ciała i miary .

Pojęcie zupełności miary związane jest z porządkowaniem różnych miar, które można zdefiniować na różnych sigma-ciałach zbioru Jeżeli przestrzenie z miarami i spełniają warunki: \forall_{A \in \mathcal{F_1}\cap \mathcal{F_2}} \,\,\,{\mu}_1 (A)\, =\, {\mu}_2(A)

\forall_{C \in \mathcal{F}_2 \setminus \mathcal{F}_1} \,\,\,{\mu}_2(C)\,\, =\,\, 0

to skłonni jesteśmy je traktować jako takie same. Miara zupełna ma najobszerniejszą dziedzinę spośród tych miar, które traktowalibyśmy jako takie same.

(2) Nie każda miara jest zupełna.

Np. Miara Lebesgue’a obcięta do σ-ciała borelowskich podzbiorów prostej nie jest zupełna, gdyż: rodzina borelowskich podzbiorów prostej jest mocy (continuum), zbiór Cantora, jako zbiór domknięty, jest borelowski, a ponadto jest to zbiór miary zero oraz mocy continuum, a więc rodzina jego wszystkich podzbiorów jest mocy co oznacza iż jego podzbiorów jest więcej niż wszystkich zbiorów borelowskich.

(4) Def. Zbiorami zaniedbywalnymi nazywa się zbiory miary zero.

(5) Tw. Każdą miarę można rozszerzyć do miary określonej na σ-ciele poszerzonym o zbiory zaniedbywalne, która jest zupełna (tzw. uzupełnienie miary). Dowód tego twierdzenia znajdziemy w, s. 91–92.

Np. miara Lebesgue’a na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest uzupełnieniem miary Lebesgue’a na rodzinie zbiorów borelowskich.

(6) Tw. Miarę zupełną uzyskuje się ograniczając miarę zewnętrzną określoną na wszystkich podzbiorach zbioru do zbiorów spełniających dla każdego warunek Carathéodory’ego:

Zbiory niemierzalne Def. Zbiorami niemierzalnymi względem sigma-ciała przestrzeni mierzalnej nazywamy podzbiory zbioru które nie należą do

Zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue’a Tw. Zbiorami niemierzalnymi w sensie Lebesgue'a w przestrzenie rzeczywistej są zbiory, które nie spełnia warunku Carathéodory’ego względem miary zewnętrznej Lebesgue’a (i dlatego nie należą do -ciała zbiorów Lebesgue’a na przestrzeni rzeczywistej).

Tw. Jeżeli założy się słuszność aksjomatyki Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru, to każdy zbiór dodatniej miary Lebesgue’a zawiera podzbiór niemierzalny.

Do zbiorów tych należą: elementy paradoksalnego rozkładu kuli (paradoks Banacha-Tarskiego), zbiór Bernsteina, zbiór Łuzina, zbiór Sierpińskiego, zbiór Vitalego.

przy czym udowodnienie niemierzalności ostatnich dwóch zbiorów trzeba dodatkowo założyć hipotezę continuum.

Uwaga: Jeżeli założy się słuszność aksjomatyki Zermela-Fraenkla bez aksjomatu wyboru, to nie da się odpowiedzieć na pytanie, czy istnieją zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue'a na prostej.

Uogólnienia miary Rozważa się miary, których wartości nie są ograniczone do nieujemnych liczb rzeczywistych i nieskończoności.

Jeżeli zachodzi potrzeba odróżnienia zwykłej miary przyjmującej wartości nieujemne od jednego z jej uogólnień, to używa się zwykle pojęcia „miara dodatnia”.

Przykłady miar uogólnionych: miara ze znakiem – przeliczalnie addytywna funkcja ze zbioru w cały zbiór liczb rzeczywistych, miara zespolona – przeliczalnie addytywna funkcja ze zbioru w cały zbiór liczb zespolonych, miary przyjmujące wartości w przestrzeniach Banacha, miary spektralne – przyjmują wartości w zbiorze samosprzężonych rzutów na przestrzeń Hilberta (używane głównie w twierdzeniu spektralnym analizy funkcjonalnej). miara skończenie addytywna – od zwykłej miary różni się jedynie wymaganiem skończonej addytywności (zamiast addytywności przeliczalnej). Chronologicznie definicja ta pojawiła się pierwsza, ale szybko stwierdzono, że jest ona mało użyteczna. Miary skończenie addytywne są jednak powiązane z takimi pojęciami jak: granice Banacha, przestrzeń dualna do L∞ oraz uzwarcenie Čecha-Stone’a. Wszystkie wspomniane pojęcia są powiązane w pewien sposób z aksjomatem wyboru.