Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru oznacza macierz transponowaną względem

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistychQR Algorithm for the Computation of the Eigenvalues, Maciej Kluczny, Mateusz Kramarczyk, AGH University of Science and Technology, 2006; Macierz unitarna..

Macierze ortogonalne wymiaru reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowejAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 198, Definicja 10.9..

Warunki równoważne ortogonalności macierzy Niech Następujące warunki są równoważne: jest macierzą ortogonalnąAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 198, Twierdzenie 10.14 (a). kolumny macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą bazę ortonormalną Wniosek 9. wiersze macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą bazę ortonormalną kolumny macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą układ ortonormalnyAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 198, Twierdzenie 10.14 (b). wiersze macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą układ ortonormalnyAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 198, Twierdzenie 10.14 (f). gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru a oznacza macierz transponowaną względem Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 198, Twierdzenie 10.14 (c). Definicja 7.1. gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru a oznacza macierz transponowaną względem Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 198, Twierdzenie 10.14 (e). dla każdej bazy ortonormalnej przestrzeni układ jest bazą ortonormalną przestrzeni Stwierdzenie 16 d). macierz A jest odwracalna i gdzie oznacza macierz odwrotną do macierzy a oznacza macierz transponowaną względem Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 198, Twierdzenie 10.14 (d). gdzie jest deltą KroneckeraBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.15). gdzie jest deltą KroneckeraBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.16). Stwierdzenie 16 b). Stwierdzenie 16 c).

Własności macierzy ortogonalnych Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, , s. 136.. Jeśli są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn też jest macierzą ortogonalną Stwierdzenie 13 b).. Macierz odwrotna do macierzy jest jej macierzą transponowaną, tj. Macierz ta też jest ortogonalna. Macierz jednostkowa jest ortogonalna. Suma kwadratów wartości w każdym wierszu (i w każdej kolumnie) jest równa 1.

Grupy O(n) oraz SO(n) Grupa ortogonalna stopnia n Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowymAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 199, Wniosek 10.15.Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 220, Twierdzenie 11.26., grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem lub Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 220.. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 199, Wniosek 10.15 – dowód..

Specjalna grupa ortogonalna Specjalna grupa ortogonalna (lub grupa unimodularna ) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jedenAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 199–200, Definicja 10.10.. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej .

Przykłady Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy. Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną Stwierdzenie 13 c)., np.

Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 200. Stwierdzenie 14 (7.12).

Stwierdzenie 14 (7.13).

Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ; s. 201, Twierdzenie 10.16.N.W. Jefimow, E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa 1976.Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. 145, Twierdzenie VIII.2.12.A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993.Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 221.

Zobacz też macierz odwrotna macierz unitarna Inne: macierz obrotu grupa obrotów

Przypisy

Bibliografia H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979. J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978. A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993. A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, . T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.

Linki zewnętrzne

O Kategoria:Izometrie