mały|200px|2+3=3+2=5 mały|200px|Diagram przedstawiający przemienność działań dwuargumentowych

Przemienność, komutatywność – własność niektórych działań dwuargumentowych polegająca na niezależności wyniku od kolejności argumentów. Formalnie: niech będzie działaniem dwuargumentowym w zbiorze , czyli Działanie to nazywa się przemiennym, jeśli dla każdej pary elementów zachodzi równość:

Własność tę mają dwa z podstawowych działań arytmetycznych – dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych. Nie mają jej jednak: odejmowanie takich liczb, np. ich dzielenie: ich potęgowanie:

Te twierdzenia matematyki elementarnej są nauczane w polskich szkołach podstawowych – należą do podstawy programowej kursów matematyki Szkoła podstawowa IV-VIII. Matematyka, podstawaprogramowa.pl [dostęp 2024-09-19].. Pojęcie przemienności jest też używane w matematyce wyższej, co opisano niżej.

Pojęcie przemienności bywa też stosowane do tych funkcji dwóch zmiennych, które nie są ściśle rozumianymi działaniami, np. do iloczynu skalarnego wektorów. Przemiennością nazywa się fakt, że ta funkcja jest symetryczna Piotr Stachura, Własności iloczynu skalarnego, kanał Khan Academy na YouTube, 19 października 2018 [dostęp 2024-09-24]. Henryk Jankowski, Algebra wektorów, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, home.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-24]. Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów, Uniwersytet Śląski w Katowicach, el.us.edu.pl, 31 marca 2015 [dostęp 2024-09-24].:

Dalsze przykłady

mały|Składanie funkcji nie jest przemienne – przykładowo obrót i ścinanie nie komutują, tzn. wykonanie ich w różnej kolejności daje różne wyniki

Działania przemienne: dodawanie i mnożenie liczb zespolonych Agnieszka Kowalik, Algebra liniowa i geometria analityczna. Liczby zespolone, Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-24]., dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej, działania sumy zbiorów, ich przekroju (części wspólnej) i różnicy symetrycznej.

Działania nieprzemienne: iloczyn kartezjański zbiorów Matematyka elementarna. Rachunek zbiorów, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2024-09-24].: mnożenie kwaternionów i innych liczb hiperzespolonych; mnożenie macierzy – na ogół składanie funkcji – na ogół

Rola w matematyce wyższej Pojęcie przemienności jest też używane w algebrze abstrakcyjnej. Niektóre struktury algebraiczne z działaniami przemiennymi mają osobne nazwy, np. grupy przemienne są też nazywane abelowymi, a przemienność pojawia się w definicjach niektórych innych struktur: ciał i ich uogólnień jak pierścienie i półpierścienie [dostęp 2024-09-19]. Semi-ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-19].; przestrzeni liniowych i ogólniejszych modułów; algebr Boole’a i ogólniejszych krat oraz półkrat.

Istnieją całe działy matematyki definiowane przemiennością lub jej brakiem, np. algebra przemienna i geometria nieprzemienna.

Przypisy

Kategoria:Własności działań