Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie algebraiczne mówiące, że skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne; oznacza to, że taki pierścień jest wtedy ciałem skończonym.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Wedderburna, który podał jego dowód w 1905 roku (poniższy dowód pochodzi od Ernsta Witta i stanowi tłumaczenie zamieszczonego w książce André Weila, zob. Bibliografia).

Historia

Oryginalny dowód został przedstawiony przez szkockiego matematyka Josepha Wedderburna w roku 1905; który w tej samej pracy przedstawił także dwa inne dowody dla swojego twierdzenia. Krótko po pracy Wedderburna, swój dowód przedstawił także amerykański matematyk Leonard Eugene Dickson. Jak jednak zostało stwierdzone w 1927 przez Emila Artina, pierwszy z dowodów w pracy Wedderburna miał nie być poprawny; Artin nie wyjaśnił jednak, gdzie miałby się w nim znajdować błąd.

W 1983 historyczka matematyki Karen Parshall, w swoim artykule dotyczącym niniejszego twierdzenia, omówiła także pierwszy dowód Wedderburna; wskazując jednocześnie, gdzie posiadał on lukę (którą to stanowiło pojedyncze, zbyt ogólnie napisane zdanie, które miało stanowić istotną część całego rozumowania), niepozwalającą uznać oryginalne rozumowanie Wedderburna za poprawne.

Dowód Niech będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jedynką) o charakterystyce . Niech będzie jego centrum, a niech będzie liczbą elementów . Jeśli wymiar jako przestrzeni liniowej nad jest równy , to ma elementów. Grupę multiplikatywną niezerowych elementów pierścienia można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującej relacji równoważności: dwa elementy i grupy są sprzężone, jeśli istnieje taki element grupy , że zachodzi:

Niech dla symbol oznacza centralizator elementu (względem mnożenia), czyli zbiór elementów pierścienia przemiennych z . Jest to podpierścień w zawierający . Jeśli jest wymiarem (w sensie przestrzeni liniowej) nad , to ma elementów. Liczba jest podzielna przez i dla .

Ponieważ liczba elementów grupy sprzężonych z jest równa indeksowi grupy w , czyli

więc (*)

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór reprezentantów klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów pochodzących z . Niech i niech:

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki -tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli dzieli i jest różne od , to wielomian dzieli

Dlatego w (*) z wyjątkiem wszystkie składniki są podzielne przez i dlatego . Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

ma wartość bezwzględną większą od , skąd sprzeczność. Zatem i , czyli jest pierścieniem przemiennym.

Przypisy

Bibliografia , wyd. ros. 1972.

Linki zewnętrzne na PlanetMath (ang.)

Wedderburna Kategoria:Teoria ciał