mały|300px|Diagram Hassego przedstawiający związki częściowych porządków z innymi relacjami dwuczłonowymi
Częściowy porządek lub krótko porządek – typ relacji matematycznej, a konkretniej dowolna relacja dwuargumentowa łącząca trzy cechy: zwrotność; przechodniość; (słaba) antysymetria.
Równoważnie: antysymetryczny praporządek.
Jeśli jest zbiorem, zaś jest częściowym porządkiem zadanym (określonym) na zbiorze , to para uporządkowana bywa określana (w angielskiej, ale także polskiej terminologii matematycznej) jako poset, od ang. sformułowania partially ordered set – oznaczającego: zbiór częściowo uporządkowany Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości, wykład 10: Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-01-30]. Paweł Idziak, Bartłomiej Bosek i Piotr Micek Matematyka dyskretna 2, wykład 2: Porządki częściowe i twierdzenie Dilwortha, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-01-30].. Ta nazwa występuje zwłaszcza w teorii mnogości oraz matematyce dyskretnej.
Ostre i słabe porządki mały|Zbiór podzbiorów {x,y,z}, uporządkowany przez inkluzję mały|Liczby naturalne częściowo uporządkowane relacją podzielności mały|Krata podgrup czwartej grupy diedralnej
Słabymi porządkami częściowymi nazywane są relacje zwrotne, przechodnie i antysymetryczne, z kolei ostre porządki częściowe to relacje przeciwzwrotne i przechodnie (relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest zarazem asymetryczna). Porządki ostre i słabe są blisko związane w tym sensie, że łatwo jest zamienić relację jednego typu na relację drugiego typu.
Przypuśćmy, że jest (słabym) porządkiem częściowym na zbiorze . Wówczas relacja na zdefiniowana przez
jest ostrym porządkiem częściowym.
I na odwrót, jeśli jest ostrym porządkiem częściowym na zbiorze , to relacja na zdefiniowana przez
jest (słabym) porządkiem częściowym.
Oznaczenia Często w tekstach matematycznych używamy zarówno słabej, jak i silnej wersji porządku, którym się interesujemy. Zwyczajowo używamy wtedy oznaczeń takich, aby wersja słaba była oznaczana symbolem zawierającym znak równości (np. , , , ), a wersja silna była oznaczona symbolem bez tego znaku (np. , , , ).
Należy mieć jednak na uwadze, że zwyczaj taki nie wykształcił się względem zawierania zbiorów, gdzie symbol oznaczać może zawieranie właściwe lub niewłaściwe (relację silną lub słabą). W celu uniknięcia nieporozumień stosuje się więc często symbole oraz – odpowiednio dla relacji słabej oraz relacji silnej.
Przykłady Szczególnym przypadkiem częściowego porządku jest porządek liniowy, w szczególności: naturalny porządek na liczbach rzeczywistych jest porządkiem częściowym. Relacja określona w zbiorze liczb zespolonych:
jest częściowym porządkiem. Nie jest to jednak porządek liniowy. Relacja podzbiorów określona na dowolnej rodzinie podzbiorów ustalonego zbioru jest częściowym porządkiem. Każdy praporządek wyznacza porządek częściowy po utożsamieniu elementów , , takich że jednocześnie jest: 1) ; oraz: 2) . Proces ten można nazwać redukcją praporządku do porządku.
Zobacz też funkcja monotoniczna pojęcie forsingu
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-10-31]. Partially ordered set , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-31].
Kategoria:Własności porządków