Operator sprzężony – dla danego operatora liniowego i ograniczonego działającego między przestrzeniami Banacha i operator liniowy
dany wzorem
tj. operator spełniający warunek
(symbol oznacza przestrzeń sprzężoną do a symbol oznacza wartość funkcjonału w punkcie tj. ).
Własności Operator sprzężony jest ograniczony oraz
Rzeczywiście,
skąd Niech będzie elementem o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie takiego elementu o normie 1, że a stąd
Nierówność wynika z możliwości przejścia do supremum w powyższej nierówności po wszystkich o normie 1. Jądro operatora sprzężonego jest domknięte w topologii *-słabej przestrzeni . Istotnie, jeżeli jest operatorem ograniczonym oraz jest ciągiem uogólnionym w ker który jest zbieżny do pewnego w topologii *-słabej, to dla każdego zachodzi
tj. czyli W szczególności, każdy operator sprzężony jest ciągły względem *-słabych topologii i odpowiednio. Obraz operatora jest gęsty w wtedy i tylko wtedy, gdy operator jest iniektywny. Dla danego operatora ograniczonego następujące warunki są równoważne: obraz jest domknięty w obraz jest domknięty w obraz jest domknięty w w *-słabej topologii.
Operatory sprzężone do operatorów szczególnych klas Niech będzie operatorem ograniczonym, działającym między przestrzeniami Banacha. Twierdzenie Schaudera: Operator jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator jest zwarty. Twierdzenie Gantmacher: Operator jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator jest słabo zwarty. Jeżeli jest ściśle singularny, to jest ściśle kosingularny. Jeżeli jest ściśle kosingularny, to jest ściśle singularny.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Teoria operatorów na przestrzeniach Banacha