Ciąg zbiorów – ciąg, którego elementami są zbiory; dokładniej: podzbiory pewnej przestrzeni. Podobnie jak dla ciągów liczbowych możliwe jest określenie granic dolnej i górnej, a przez to zbieżności.

Jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera się w poprzednim, ciąg nazywa się zstępującym lub nierosnącym; jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera poprzedni, ciąg nazywa się wstępującym bądź niemalejącym; ciąg, który jest zstępujący lub wstępujący (nierosnący lub niemalejący) nazywa się monotonicznym (por. warunki nakładane na łańcuchy, tutaj: podzbiorów).

Zbieżność

Niech dany będzie ciąg podzbiorów ustalonego zbioru nazywanego dalej przestrzenią. Zbiory dane wzorami

nazywa się odpowiednio granicą dolną i granicą górną ciągu jeżeli

to ciąg nazywa się zbieżnym, a zbiór wyznaczony przez tę równość nazywa się granicą tego ciągu i zapisuje

Własności Zamiast napisu (liczby naturalne bez zera) pod symbolami granic stosuje się również niżej, dla przejrzystości, oznaczenia będą pomijane, o ile nie doprowadzi to do nieporozumień.

Dla dowolnego ciągu następujące warunki są równoważne: ciąg jest zbieżny do

ciąg różnic symetrycznych oraz jest zbieżny do zbioru pustego

ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów jest zbieżny punktowo na całej przestrzeni do funkcji charakterystycznej zbioru

Dodatkowo dla przebiegającego wszystkie nieskończone podzbiory liczb naturalnych zachodzi

z kolei dla przebiegającego wszystkie podzbiory liczb naturalnych o dopełnieniu skończonym jest

a ponadto

a więc sprawdzając zbieżność, wygodnie jest niekiedy ograniczyć się do badania

Element wtedy i tylko wtedy, gdy dla nieskończenie wielu wartości Otóż z definicji jest równoważne temu, by dla każdego zachodziło co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje dla których to zaś pociąga i jest pociągane przez istnienie takiego podciągu monotonicznie rozbieżnego do że co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy należy do nieskończenie wielu ; z kolei wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich poza skończenie wieloma wartościami Z definicji wynika, że jest równoważne istnieniu spełniającego co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dla ; innymi słowy

a ponadto oraz Z praw de Morgana wynika drugi przypadek jest analogiczny., gdzie oznacza dopełnienie zbioru

Ciąg nazywa się nierosnącym lub zstępującym, jeżeli oraz niemalejącym bądź wstępującym, jeżeli dla każdego O takich ciągach mówi się zbiorczo: monotoniczne i jako takie są one zbieżne, przy czym jeśli jest nierosnący (zstępujący), toJeśli jest nierosnący, to oraz Wynika stąd, że

Podobnie w przypadku, gdy jest niemalejący.

a jeżeli jest niemalejący (wstępujący), to

Zastosowania Niżej oznacza pewną przestrzeń probabilistyczną (bądź ogólniej: przestrzeń mierzalną z ustaloną miarą), a zbiory będą zdarzeniami losowymi (albo po prostu zbiorami mierzalnymi).

Granice oraz można uważać za „te zdarzenia które zachodzą nieskończenie często” oraz „te zdarzenia które w końcu będą zawsze zachodzić”; zawieranie oznacza więc, że „zdarzenia które ostatecznie zawsze zajdą, zachodzą nieskończenie często”, skąd granicę można rozumieć jako żądanie, by „te ze zdarzeń które zachodzą nieskończenie często, ostatecznie zawsze zachodziły”.

Twierdzenie o ciągłości Jeżeli ciąg jest monotoniczny, to prawdopodobieństwo tych ze zdarzeń z które ostatecznie zajdą jest równe granicy prawdopodobieństw Dla ciągu wstępującego zdarzenia oraz dla wykluczają się, a przy tym oraz (tzn. rodzina indeksowana jest podziałem ); z przeliczalnej addytywności miary wynika Przypadek ciągu zstępującego (dla którego ) wynika z pierwszego na mocy wzorów de Morgana dla ciągu wstępującego danego wzorem gdyż , tzn.

Lematy Borela-Cantellego

Jeżeli to Z drugiej strony, jeżeli dla zdarzeń niezależnych(!)Założenie dotyczące niezależności można osłabić do niezależności parami kosztem większej złożoności dowodu., to Korzystając z podanych intuicji lematy Borela-Cantellego, można rozumieć w następujący sposób: „jeżeli suma prawdopodobieństw zdarzeń jest skończona, to prawie na pewno nie przytrafią się zdarzenia, które zachodzą nieskończenie często, tzn. prawie na pewno zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń ” oraz „jeżeli suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń jest nieskończona, to prawie na pewno mają miejsce zdarzenia zachodzące nieskończenie często” (gdzie przez „sumę” rozumie się „sumę nieskończoną”, czyli szereg); przypadkiem szczególnym drugiego z lematów jest twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.

Klasa monotoniczna i λ-układ

Klasa monotoniczna to rodzina zdarzeń która zawiera wszystkie granice ciągów monotonicznych tej rodziny. Każde σ-ciało zdarzeń jest klasą monotoniczną, zaś każde ciało zdarzeń będące klasą monotoniczną jest ich σ-ciałem. λ-układ to z kolei rodzina zdarzeń do której należy jeżeli zdarzenie pociąga to rodzina zawiera różnicę zdarzeń oraz (zdarzenie przeciwne do względem ) oraz zawiera granice wstępujących ciągów zdarzeń należących do tej rodziny. Każdy λ-układ będący zarazem π-układem (rodziną zawierającą skończone koniunkcje należących do niej zdarzeń) jest σ-ciałem, o czym mówi lemat o π- i λ-układach.

Twierdzenia Carathéodory’ego i Hahna-Kołmogorowa

Niech będzie nieujemną i skończenie addytywną funkcją na pewnym ciele określonym na przestrzeni (oraz ). Jeśli zachodzi warunek gdy jest ciągiem wstępującym elementów przy czym (np. gdy jest również klasą monotoniczną), wtedy to przedłuża się w jednoznaczny sposób do prawdopodobieństwa na σ-ciele generowanym przez Równoważnie można żądać, by był ciągiem zstępującym na oraz kiedy to Jeśli jest ciągiem zstępującym o pustym przecięciu, to jest rodziną wstępującą i ze wzorów de Morgana wynika, że skąd czyli Na odwrót, jeżeli jest ciągiem wstępującym, to tworzą ciąg zstępujący o pustym przecięciu, zatem czyli z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi

W topologii ciągi zbiorów zstępujących służą charakteryzacji metryzowalnych przestrzeni zwartych i metrycznych przestrzeni zupełnych (zob. twierdzenie Cantora o zupełności).

Uwagi

Kategoria:Rodziny zbiorów Kategoria:Teoria miary Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa Kategoria:Ciągi