Twierdzenie o trójzębie, twierdzenie o trójliściu – twierdzenie geometrii euklidesowej, dotyczące odległości między pewnymi szczególnymi punktami związanymi z trójkątem.
Twierdzenie mały|352x352px|Ilustracja twierdzenia o trójzębie. Niech będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt Przez oznaczmy środek łuku niezawierającego punktu Z kolei niech będzie środkiem okręgu dopisanego do trójkąta stycznego do boku Wówczas spełnione są równości Twierdzeniem o trójliściu nazywa się zwykle jedynie dwie pierwsze równości.
Dowód Z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku wynikają równości
Z własności środka okręgu wpisanego, jest dwusieczną więc a stąd trójkąt ACD jest równoramienny, tzn.
Korzystając z kątów przyległych i sumy miar kątów w trójkącie otrzymujemy
Ponieważ jest dwusieczną zachodzi równość Z kolei Zatem
Z powyższej równości kątów wnioskujemy, że trójkąt jest równoramienny i . To kończy dowód twierdzenia o trójliściu.
Aby udowodnić pełną formę twierdzenia o trójzębie, zauważmy, że z definicji punktów oraz zachodzi równość Stąd jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym Analogicznie jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie Zatem punkty leżą na jednym okręgu. Ponieważ trzy punkty jednoznacznie wyznaczają okrąg a jest środkiem okręgu opisanego na (z twierdzenia o trójliściu), jest również środkiem okręgu opisanego na Stąd bezpośrednio wynika teza twierdzenia o trójzębie.
Zobacz też okrąg wpisany okrąg dopisany twierdzenie o dwusiecznej
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o okręgach i trójkątach