Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego – twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.
Wypowiedź twierdzenia Niech będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.
Dowód Załóżmy, że ciąg jest niemalejący oraz ograniczony. Zbiór jest niepusty i ograniczony z góry, więc na mocy aksjomatu ciągłości ma kres górny, niech Dla każdego istnieje takie naturalne że jako że w przeciwnym wypadku byłoby ograniczeniem górnym mniejszym od co przeczy definicji jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro jest niemalejący, to
co oznacza, że ciąg jest zbieżny i jego granicą jest
Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód dla ciągu nierosnącego jest analogiczny – wykorzystuje własność mówiącą, że niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum
Zobacz też ciąg granica ciągu i granica funkcji zbieżność monotoniczna
Przypisy Uogólnienie tego twierdzenia zostało podane w:
Bibliografia
Linki zewnętrzne Paweł Lubowiecki, Ciągi liczbowe cz. III – Zbieżność ciągów ograniczonych i monotonicznych, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
O Kategoria:Kryteria zbieżności