Twierdzenie Hartmana-Grobmana – twierdzenie jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych mówiące, że jeśli macierz linearyzacji równania nie ma czysto urojonych wartości własnych, to równanie jest topologicznie sprzężone ze swoją linearyzacją.
Pojęcie topologicznego sprzężenia równań różniczkowych Niech będzie niepustym zbiorem otwartym w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech i będą funkcjami określonymi na o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej -wymiarowej spełniającymi lokalny warunek Lipschitza. Mówimy, że równania różniczkowe: oraz są topologicznie równoważne na otoczeniu punktu (czyli mają taką samą strukturę jakościową na otoczeniu tego punktu), jeżeli istnieje otwarte otoczenie tego punktu oraz homeomorfizm odwzorowujący trajektorie fazowe równania w na trajektorie fazowe równania w i zachowujący orientację. Jeżeli homeomorfizm zachowuje jednocześnie parametryzację przez czas, to równania te nazywamy topologicznie sprzężonymi.
Twierdzenie Niech będzie niepustym zbiorem otwartym w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech oznacza układ dynamiczny indukowany przez równanie różniczkowe zwyczajne
gdzie jest odwzorowaniem klasy Niech będzie takim punktem stacjonarnym równania
że
Wówczas równania
są sprzężone topologicznie na pewnym otoczeniu punktu tzn. istnieje takie otwarte otoczenie punktu oraz homeomorfizm że
Linki zewnętrzne
Kategoria:Równania różniczkowe zwyczajne Hartmana-Grobmana