Hiperskończony faktor typu II1 – jedyny z dokładnością do izomorfizmu faktor, oznaczany najczęściej przez (po prostu faktorem, nazywamy każdą algebrę von Neumanna o trywialnym centrum – tzn. taką, że jej centrum, składa się wyłącznie z wielokrotności operatora identyczności (operatora tożsamościowego)), działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta, mający skończony ślad oraz taki, którego suma skończenie wymiarowych pod-C*-algebr, jest gęsta w słabej topologii operatorowej.
Jedyność faktora została udowodniona przez Francisa Murraya i Johna von NeumannaF.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators IV Ann. of Math. (2), 44 (1943), 716–808..
Własności Hiperskończony faktor typu II1 ozn. jest minimalny w tym sensie, że każdy nieskończenie wymiarowy faktor zawiera . Co więcej, każdy faktor zawarty w , jest izomorficzny z . Dla każdego niezerowego rzutu istnieje izomorfizm . Zachodzi równość: . Faktor jest injektywną algebrą von Neumanna. Injektywność oznacza tutaj injektywność w klasie systemów operatorowych z morfizmami będącymi całkowicie dodatnimi odwzorowaniami liniowymi. (Wynika to z twierdzenia mówiącego, że w klasie faktorów pojęcia injektyności i hiperskończoności pokrywają się). Czasami jest definiowane jako jedyna injektywny faktor o skończonym śladzie działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta. Dla każdej ośrodkowej algebry UHF ozn. istnieje izomorfizm . W szczególności, jest granicą prostą ciągu induktywnego algebr macierzy (w kategorii algebr von Neumanna)
gdzie każdy morfizm zachowuje jedność.
Nieskończone hiperskończone faktory typu II
Chociaż prawdą jest, że istnieją inne faktory typu II , to jednocześnie jest tylko jeden taki, który byłby zarazem hiperskończony (w rozumieniu: z dokładnością do izomorfizmu). Taki hiperskończony faktor składa się wtedy z tych spośród nieskończonych macierzy kwadratowych, które należą do hiperskończonego faktora typu II1 , które definiują (każda) sobą, jakiś operator (liniowy) ograniczony.
Przypisy
Kategoria:C*-algebry