Funkcje Kelvina – funkcje powiązane z funkcjami Bessela zespolonego argumentu. Oznaczane są symbolami:

gdzie jest zmienną zespoloną, a rzeczywisty parametr rzędem funkcji.

Definicje thumb|Ber(x) for x between 0 and 10. thumb| for between 0 and 100.

thumb|Bei(x) for between 0 and 10. thumb| for between 0 and 100.

thumb|Ker(x) for between 0 and 10. thumb| for x between 0 and 100.

thumb|Kei(x) for between 0 and 10. thumb| for between 0 and 100.

ber(x), bei(x) Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Bessela rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez stała matematyczną e podniesioną do potęgi gdzie jest jednostką urojoną:

Alternatywną definicją jest:

gdzie jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu rzeczywistego.

ker(x), kei(x) Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną podzielonej przez zmodyfikowanej funkcji Bessela drugiego rodzaju rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez

her(x), hei(x) Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Hankela I rodzaju rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez

Funkcje rzędu zerowego W zapisie rząd zerowy funkcji Kelvina opuszcza się, tj. mamy:

Własności Funkcje Kelvina są rzeczywiste dla rzeczywistych wartości argumentu W punkcie przestrzeni zespolonej funkcje Kelvina posiadają punkt rozgałęzienia z wyjątkiem funkcji oraz rzędu rzeczywistego całkowitego.

Między funkcjami Kelvina zachodzą związki:

Funkcje spełniają równanie różniczkowe:

Natomiast funkcje spełniają równanie różniczkowe:

Rozwinięcia Dla funkcji o rzędzie całkowitym różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

tj.:

Dla funkcji o rzędzie całkowitym różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

tj.

Bibliografia Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge. Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions. Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971). Korn G.A., Korn T.M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-13].

Kategoria:Funkcje specjalne