Presnopem określonym na przestrzeni topologicznej nazywamy funkcję określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów otwartych tej przestrzeni, taką że dla dowolnych zbiorów określona jest funkcja

o własnościach: składa się z jednego elementu, ( jest przekształceniem tożsamościowym na ), dla dowolnych zbiorów otwartych .

Czasem taki presnop oznacza się przez Jeśli istotne jest podkreślenie, że funkcja jest związana z presnopem to stosowane jest oznaczenie Funkcja jest nazywana odwzorowaniem ograniczenia.

Jeśli wszystkie zbiory są grupami, modułami nad ustalonym pierścieniem, albo pierścieniami, a odwzorowania są homomorfizmami tych struktur algebraicznych, to presnop nazywany jest odpowiednio presnopem grup, modułów, albo pierścieni.

Własności Presnop grup abelowych można zdefiniować jako funktor kontrawariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni w kategorię grup abelowych. Można definiować presnop jako funktor kowariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni w dowolną kategorię.

Przykłady Jeśli jest zbiorem, jest zbiorem wszystkich funkcji na o wartościach w oraz dla to jest nazywany presnopem wszystkich funkcji na . Jeśli jest przestrzenią topologiczną, jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na o wartościach w a jest określone tak, jak w poprzednim przykładzie, to jest nazywany presnopem funkcji ciągłych na . Każdy presnop generuje pewien snop. Niech będzie presnopem na przestrzeni topologicznej Dla każdego zbioru otwartego niech będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych: z topologią indukowaną przez topologię oraz z topologią dyskretną. Niech będzie sumą rozłączną tych przestrzeni, gdzie przebiega zbiór wszystkich zbiorów otwartych w Na tej przestrzeni można określić relację równoważności dla i

Wtedy przestrzeń ilorazowa z rzutowaniem indukowanym przez rzutowanie określone wzorem jest snopem na nazywanym snopem generowanym przez presnop Istnieją presnopy, które nie są snopami.

Przypisy

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. [dostęp 2025-12-04]. Pre-sheaf , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].

Kategoria:Operacje na przestrzeniach topologicznych Kategoria:Teoria kategorii