thumb|250px|Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej thumb|250px|Rozkład prawdopodobieństwa średniej dwóch takich niezależnych zmiennych thumb|250px|Rozkład prawdopodobieństwa średniej trzech takich niezależnych zmiennych thumb|250px|Rozkład prawdopodobieństwa średniej czterech takich niezależnych zmiennych. Jest już bardzo zbliżony do rozkładu normalnego.

Centralne twierdzenie graniczne – twierdzenie probabilistyki o zbieżności pewnych ciągów zmiennych losowych do rozkładu normalnego. Wyjaśnia ono powszechność w przyrodzie zbliżonych do niego rozkładów prawdopodobieństwa.

Wersje Sformułowanie szczególne Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z tej samej populacji o wartości oczekiwanej oraz dodatniej i skończonej wariancji to ciąg zmiennych losowych, w postaci znormalizowanych wartości oczekiwanych

zbieżny jest według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy

Tzn.

Sformułowanie ogólne Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą twierdzenia Lindeberga-Lévy’ego mówi:

Niech będzie schematem serii, w którym dla i dla każdego mamy Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego zachodzi to

Dowód Dowodów centralnego twierdzenia granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych. Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.

Częste nieporozumienia Centralne twierdzenie graniczne nie sprawi, by przy dostatecznie dużej próbie rozkład stał się normalny. Jedynie rozkład średniej z tej próby upodabnia się do normalnego. Centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe tylko dla rozkładów o skończonej wariancji. Zobacz stabilność struktury.

Zobacz też prawo wielkich liczb twierdzenie Berry-Essena

Przypisy

Linki zewnętrzne Central limit theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Rozkłady prawdopodobieństwa Kategoria:Twierdzenia probabilistyki