Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.

Definicja Niech będzie liczbą pierwszą, zaś liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem

gdzie

Dla niepodzielnych przez (w przeciwnym wypadku suma jest równa ) równoważnie można ją zapisać jako

gdzie jest symbolem Legendre’a.

Własności Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie

Dokładna wartość wyliczona przez Gaussa wynosi

Dowód tego, że wartość bezwzględna wynosi jest prosty:

gdyż

Ogólnie dla dowolnej sumy gdzie jest liczbą całkowitą, zachodzi

Bibliografia Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000.

Kategoria:Algebraiczna teoria liczb