Twierdzenie Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych – twierdzenie charakteryzujące te przestrzenie liniowo-topologiczne, w których da się wprowadzić normę tak by oryginalna topologia przestrzeni pokrywała się z topologią wprowadzoną przez normę (tj. przestrzenie normowalne). Twierdzenie udowodnione w 1934 przez A. N. KołmogorowaA. N. Kolmogorov, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes, Studia Math. 5 (1934), 29–33; angielskie tłumaczenie: V.M. Tikhomirov (Ed.), Selected Works of A.N. Kolmogorov. Vol. I: Mathematics and Mechanics,, Kluwer, Dordrecht–Boston–London, 1991, ss. 183–186..
Twierdzenie Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną Hausdorffa. Wówczas X jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w X ograniczone i wypukłe otoczenie zera.
Dowód Jeżeli X jest przestrzenią normowalną, to ustaliwszy normę w tej przestrzeni generującą wyjściową topologię, kula jednostkowa:
jest ograniczonym i wypukłym otoczeniem zera.
Niech teraz X będzie przestrzenią mającą ograniczone i wypukłe otoczenie zera B. Istnieje wówczas zbalansowane (i wypukłe) otoczenie zera U zawarte w B. W szczególności, funkcjonał Minkowskiego zbioru U jest normą w X. Z ograniczoności zbioru B (a więc także zbioru U) wynika, że dla każdej liczby naturalnej n zbiór
jest ograniczonym otoczeniem zera i że zbiory te tworzą bazę otoczeń zera przestrzeni X, tj. topologia wyznaczona przez normę (tj. funkcjonał Minkowskiego zbioru U) jest równoważna wyjściowej topologii przestrzeni X.
Przypisy
Bibliografia S. K. Berberian, Lectures in Functional Analysis and Operator Theory, Spring Verlag 1974.
M. Rosenzweig, Kolmogorov Normability Criterion.
Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych