Diagonalizacja endomorfizmu skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej – proces znajdowania bazy przestrzeni w której macierz jest diagonalna.

Endomorfizm nazywamy diagonalizowalnym, jeśli taka baza istnieje.

Wektory własne Niech Endomorfizm jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza przestrzeni złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.

Dowód

Diagonalizowalność endomorfizmu jest równoważna istnieniu w przestrzeni „diagonalnej” bazy dla której

Ponieważ w tej bazie -ta kolumna macierzy endomorfizmu jest układem współrzędnych wektora w bazie tzn.

więc wszystkie wektory są wektorami własnymi endomorfizmu

Wniosek

Jeżeli jest endomorfizmem diagonalizowalnym i jest macierzą diagonalną, to baza składa się z wektorów własnych endomorfizmu a przekątna macierzy składa się z (niekoniecznie różnych) wartości własnych endomorfizmu (z zachowaniem odpowiedniej kolejności).

Warunek wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu Niech Warunkiem wystarczającym na diagonalizowalność endomorfizmu jest, aby wielomian charakterystyczny endomorfizmu miał n różnych wartości własnych.

Uwaga:

Jeżeli jest wartością własną endomorfizmu o krotności (jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego), to dla podprzestrzeni odpowiadającej wartości własnej

Liczbą nazywamy wówczas krotnością algebraiczną, a liczbę nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej

Warunek konieczny i wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu Niech Endomorfizm jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy: wielomian charakterystyczny endomorfizmu ma postać gdzie oraz dla

gdzie jest podprzestrzenią przestrzeni odpowiadającą wartości własnej oraz

Przykład Diagonalizacja endomorfizmu

Niech będzie bazą kanoniczną w

Niech będzie wielomianem charakterystycznym macierzy

Wówczas

Konstrukcja przestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej

Stąd

Wektory są oczywiście liniowo niezależne i stanowią bazę przestrzeni

Konstrukcja przestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej

Stąd

Wektor jest bazą przestrzeni

Ostatecznie

więc jest endomorfizmem diagonalizowalnym.

Bibliografia

Kategoria:Morfizmy