Twierdzenie Kirszbrauna – twierdzenie o rozszerzaniu funkcji lipchitzowskich na przestrzeniach Hilberta, udowodnione przez polskiego matematyka, Mojżesza D. Kirszbrauna w jego pracy magisterskiej obronionej w Warszawie w 1930. Poszerzona wersja jego pracy magisterskiej została opublikowana w „Fundamenta Mathematicae”. Kirszbraun udowodnił przedstawione niżej twierdzenie dla odwzorowań spełniających warunek Lipschitza, które działają pomiędzy przestrzeniami euklidesowymi. Przedstawiony niżej przypadek ogólny dla przestrzeni Hilberta pochodzi od Valentine’aF.A. Valentine, A Lipschitz condition preserving extension for a vector function, Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93..
Twierdzenie Niech i będą rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta oraz niech będzie niepustym zbiorem. Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza ze stałą może być przedłużona do funkcji która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą.
Wersja twierdzenia w przypadku gdy przeciwdziedziną są liczby rzeczywiste W przypadku, gdy jest dowolną przestrzenią metryczną, a jest niepustym podzbiorem, każdą funkcję spełniająca warunek Lipschitza ze stałą można przedłużyć do funkcji która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą. Istotnie, funkcja dana wzorem
jest takim właśnie przedłużeniem.
Uogólnienia Lang i Schroeder rozszerzyli twierdzenie Kirszbrauna na przestrzenie metryczne spełniające górne bądź dolne ograniczenia krzywizny w sensie Aleksandrowa.
Przypisy
Bibliografia A.V. Akopyan, A.S. Tarasov, A constructive proof of Kirszbraun’s theorem (Russian), Mat. Zametki 84 (2008), no. 5, 781-784; translation in Math. Notes 84 (2008), no. 5–6, 725–728.
Linki zewnętrzne Kirszbraun theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-15].
Kirszbrauna