Współczynnik gamma (γ) (gamma Goodmana i Kruskala) – miara siły i kierunku zależności pomiędzy dwiema zmiennymi porządkowymi. Współczynnik został zaproponowany przez statystyków Leo Goodmana i Williama Kruskala w cyklu artykułów opublikowanych w latach 1954–1972. Szczególnym przypadkiem współczynnika gamma jest współczynnik Q Yule’a.

Definicja Aby obliczyć współczynnik gamma na podstawie danych z próby, należy wyznaczyć dwie wartości:

– liczbę par zgodnych, czyli takich par obserwacji oraz , w których jeśli jedna zmienna ma większą wartość w jednej obserwacji, to druga zmienna również ma większą wartość w tej samej obserwacji; – liczbę par niezgodnych, czyli takich par obserwacji, w których większej wartości jednej zmiennej w jednej obserwacji towarzyszy mniejsza wartość drugiej zmiennej.

Pary wiązane, czyli sytuacje, gdy w danej parze przynajmniej jedna ze zmiennych ma tę samą wartość w obu obserwacjach, są pomijane.

Współczynnik gamma ma wtedy postać:

Statystykę tę można uważać za estymator największej wiarygodności wielkości teoretycznej , zdefiniowanej wzorem:

gdzie Pc i Pd to prawdopodobieństwa, że wylosowana para obserwacji będzie odpowiednio zgodna lub niezgodna.

Testy i przedziały ufności dla statystyki gamma wykorzystują czasem fakt, że przekształcona według poniższego wzoru statystyka z próby:

gdzie n jest liczbą oberwacji, a nie liczbą par (), ma w przybliżeniu rozkładu t-Studenta.

Przykład Sposób obliczania współczynnik gamma: W tabeli podano rozkład zmiennej antysemityzm w grupie osób z różnym poziomem wykształcenia.

Wykształcenie podstawoweWykształcenie średnieWykształcenie wyższeNiski poziom antysemityzmu204070Średni poziom antysemityzmu509040Wysoki poziom antysemityzmu803010

Potrzebujemy dwóch wartości, żeby obliczyć współczynnik gamma: 1) liczby par, których uporządkowanie ze względu na obie zmienne jest zgodne (takie samo), 2) liczby par, których uporządkowanie ze względu na obie zmienne jest niezgodne (jest odwrotne).

1. PARY ZGODNE: mnożymy liczebność każdej komórki w tabeli przez sumę liczebności wszystkich komórek znajdujących się "na prawo i w dół" od tej komórki. Następnie liczymy sumę wszystkich iloczynów.

20 x (90 + 30 + 40 + 10) + 40 x (40 + 10) + 50 x (30 + 10) + 90 x (10)= 3 400 + 2 000 + 2 000 + 900 = 8 300.

2. PARY NIEZGODNE: mnożymy liczebność każdej komórki w tabeli przez sumę liczebności wszystkich komórek znajdujących się "na lewo i w dół" od tej komórki. Następnie liczymy sumę wszystkich iloczynów.

70 x (50 + 80 + 90 + 30) + 40 x (80 + 30) + 40 x (50 + 80) + 90 x (80) = 17 500 + 4 400 + 5 200 + 7 200 = 34 300.

3. Obliczamy wartość współczynnik gamma według wzoru: G = (zgodne - niezgodne):(zgodne + niezgodne).

G = (8 300 - 34 300):(8 300 + 34 300) = -0,61

Istnieje dosyć silny ujemny związek pomiędzy poziomem wykształcenia a poziomem antysemityzmu. Im osoba jest lepiej wykształcona, tym mniejszy jest jej poziom antysemityzmu.

Przypisy

Bibliografia Earl Babbie: Badania społeczne w praktyce. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, s. 484.

Kategoria:Miary zależności