Topologia zwarto-otwarta jest topologią na zbiorze wszystkich przekształceń ciągłych z przestrzeni topologicznej do przestrzeni Jej genezą było poszukiwanie takiej topologii na zbiorze lub na jakimś wyróżnionym zbiorze ciągłych przekształceń przy której wyrażenie jest funkcją ciągłą względem obu zmiennych: zmiennej i zmiennej Innymi słowy, chodzi o taką topologię na aby odwzorowanie było ciągłe względem topologii produktowej na .
Definicje Załóżmy, że są przestrzeniami topologicznymi, a jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z w Jedną z topologii na zbiorze jest topologia zbieżności punktowej której bazą zbiorów otwartych jest rodzina wszystkich zbiorów postaci
gdzie każdy jest podzbiorem skończonym przestrzeni a jest zbiorem otwartym w . Zbiór można też interpretować jako nieskończoną potęgę kartezjańską, produkt jednakowych czynników. Topologia zbieżności punktowej jest topologią indukowaną przez topologię produktową na iloczynie kartezjańskim w którym dla każdego Topologia jest jednoznacznie wyznaczona przez topologię w natomiast od topologii przestrzeni zależy jedynie zbiór funkcji należących do
Silniejsza od jest topologia zwarto-otwarta w której bazą zbiorów otwartych są analogiczne iloczyny z tym, że teraz każdy jest podzbiorem zwartym przestrzeni .
Topologia zależy od obu topologii: od topologii w i topologii w Jeżeli jest przestrzenią zwartą, a przestrzenią metryczną, to topologia zwarto-otwarta przestrzeni jest identyczna z topologią zbieżności jednostajnej. Jeżeli zaś obie przestrzenie są metryczne, to w przestrzeni można wprowadzić metrykę zbieżności jednostajnej, której topologia, zwana też topologią naturalną na jest identyczna z topologią zwarto-otwartą.
Kanoniczna bijekcja Załóżmy, że są przestrzeniami topologicznymi, a symbol oznacza przestrzeń z topologią zwarto-otwartą. Rozważmy kanoniczne odwzorowanie
przyporządkowujące każdej funkcji funkcję która z kolei każdemu przyporządkowuje funkcję określoną wzorem Jeżeli przestrzeń jest lokalnie zwarta, a X jest przestrzenią Hausdorffa, to jest bijekcją i homeomorfizmem.
Szczególnie doniosły (zwłaszcza dla teorii homotopii) jest przypadek, gdy w tym homeomorfizmie za podstawimy sferę n-wymiarową i rozważymy przestrzenie topologiczne z wyróżnionymi punktami bazowymi Przez oznaczmy podprzestrzeń domkniętą (w topologii zwarto-otwartej) przestrzeni utworzoną z funkcji zachowujących punkty bazowe. Dla otrzymujemy homeomorfizm
w którym występuje zredukowane zawieszenie homeomorficzne z produktem ściągniętymProdukt ściągnięty (ang. smash product) przestrzeni to przestrzeń ilorazowa gdzie to zbiór z punktem bazowym przestrzeni i oraz przestrzeń pętli Jest to naturalna równoważność funktorów. Stała się ona punktem wyjścia dualności Eckmanna-Hiltona
Zobacz też funktory sprzężone
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Stefan Jackowski, Topologie w przestrzeniach odwzorowań, wykład dla studentów Wydziału MIM UW, https://www.mimuw.edu.pl/~sjack/Topologia_I/przestrzenie_odwzorowan.pdf
Kategoria:Operacje na przestrzeniach topologicznych