Lemat Scheffégo – twierdzenie teorii miary mówiące, że jeżeli ciąg funkcji całkowalnych na pewnej przestrzeni z miarą zbiega punktowo (w szczególności: zbiega prawie wszędzie) do funkcji całkowalnej określonej na tej samej przestrzeni, to
wtedy i tylko wtedy, gdy
Twierdzenie udowodnione w 1947 roku przez Henry’ego ScheffégoH. Scheffé, A Useful Convergence Theorem for Probability Distributions, „Ann. Math. Statistics”, 18 (1947), s. 434–438. jest w istocie szczególnym przypadkiem twierdzenia Frigyesa Riesza z 1928 rokuF. Riesz, Sur la convergence en moyenne, „Acta Sci. Math. (Szeged)”, 4 (1928), s. 58–64..
Rachunek prawdopodobieństwa Niech będzie zmienną losową określoną na ustalonej przestrzeni probabilistycznej która ma gęstość oraz dany będzie ciąg zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni, któremu odpowiada ciąg gęstości Z lematu Scheffégo wynika, że jeśli punktowo/prawie wszędzie, to według rozkładu.
Otóż jeśli dla (prawie) wszystkich to
Istotnie
gdzie zbieżność wynika z lematu Scheffégo (zaś oznacza miarę Lebesgue’a).
Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: na ogół zbieżność według rozkładu ciągu zmiennych losowych nie pociąga zbieżności ciągu odpowiadających im gęstości. Przykładem może być ciąg zmiennych losowych o gęstościach
który zbiega według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednorodnym podczas gdy ciąg ich gęstości jest rozbieżnyJ.P. Romano, A.F. Siegel, Counterexamples in probability and statistics (1985); przykład 5.26..
Przypisy
Bibliografia N. Kusolitsch, Why the theorem of Scheffé should be rather called a theorem of Riesz, Periodica Mathematica Hungarica 61 (2010), s. 225–229.
Kategoria:Twierdzenia teorii miary Kategoria:Lematy probabilistyki Kategoria:Lematy analizy matematycznej