alt=Ilustracja przedstawia dwie wersje wykresu zestawiającego ocenę jakości burgerów i frytek w kilku restauracjach. Górny wykres przedstawia cały zbiór przykładowych danych, w którym widoczna jest pozytywna korelacja. Dolny wykres przedstawia zbiór ograniczony do lokalizacji cechujących się wysoką oceną co najmniej jednej potrawy. Obcięcie rozkładu do skrajnych przypadków sprawia, że obserwowana jest w tym przypadku pozorna negatywna korelacja.|mały|Ilustracja paradoksu Berksona na przykładzie jakości burgerów i frytek w restauracjach. Górny wykres przedstawia rzeczywisty rozkład, w którym obserwuje się pozytywną korelację. Osoba, która omija miejsca, w których zarówno frytki, jak i burgery są niskiej jakości, obserwuje tylko wycinek tego rozkładu – przedstawiony na dolnym wykresie – w którym może stwierdzić pozorną negatywną korelację. Paradoks Berksona – rezultat z obszaru prawdopodobieństwa warunkowego w statystyce, który jest pozornym paradoksem – wydaje się sprzeczny z intuicją. Polega na sztucznym powstawaniu prawdopodobieństwa zależnego pomiędzy niepowiązanymi zmiennymi – lub, w przypadku powiązanych zmiennych, odmiennej od oryginalnej relacji warunkowej – gdy podjęcie ich porównania jest uwarunkowane ich wartościami. Powstała w ten sposób pozorna korelacja nie przekłada się na żaden zewnętrzny i realny związek przyczynowo-skutkowy. Paradoks Berksona występuje w praktyce w szczególności jako konsekwencja przeoczonego błędu selekcji w doborze do próby w estymacji i testach statystycznych, komplikując realizację tych celów.
Podstawowym przykładem paradoksu Berksona jest stwierdzenie pozornej, negatywnej korelacji pomiędzy dwiema pozytywnymi cechami – tj. u jednostek posiadających wyższy poziom jednej z tych cech można oczekiwać niższego poziomu drugiej. Taką zależność można wykryć zarówno gdy w rzeczywistości czynniki te są niepowiązane, jak i nawet wtedy, kiedy ich korelacja w populacji jest pozytywna. Dzieje się tak wówczas, gdy analiza nie obejmuje w sposób reprezentatywny całej populacji, ale jedynie jej podgrupę (na przykład ze względu na wygodny dostęp czy błąd przeżywalności), która charakteryzuje się warunkowo obciętym rozkładem przynajmniej jednej z tych cech.
Paradoks jest opisywany między innymi w obszarze statystyki medycznej i biostatystyki, jak w oryginalnym przedstawieniu problemu autorstwa Josepha Berksona.
Opis formalny Dwa niezależne zdarzenia losowe stają się warunkowo zależne (negatywnie), jeśli warunkujemy ich rozpatrywanie względem tego, że przynajmniej jedno miało miejsce. Symbolicznie, jeżeli
zdarzenie i zdarzenie mogą, ale nie muszą wystąpić,
a prawdopodobieństwo obu zdarzeń jest niezależne, to znaczy wystąpienie jednego nie zmienia szansy na drugie,
wówczas:
prawdopodobieństwo wystąpienia jednego ze zdarzeń, pod warunkiem że wystąpiło drugie, jest wyższe niż jego bezwarunkowe prawdopodobieństwo,
prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego ze zdarzeń, pod warunkiem że wystąpiło którekolwiek z nich, jest oczywiście zawyżone,
Prawdopodobieństwa te są artefaktem kryterium warunkującego; choć w sensie matematycznym są prawdziwe, nie odzwierciedlają żadnego rzeczywistego związku przyczynowego.
Przykłady Oryginalny przypadek opisany przez Berksona dotyczył retrospektywnej analizy cukrzycy jako potencjalnego czynnika ryzyka zapadnięcia na zapalenie pęcherzyka żółciowego w próbie statystycznej dobranej z populacji osób hospitalizowanych. Ponieważ populacja ta jest z definicji szczególnym podzbiorem wszystkich ludzi, taka konstrukcja analizy grozi odkryciem pozornej zależności pomiędzy dowolną chorobą i czynnikiem ryzyka. Berkson zauważył, że nawet samo ograniczenie uwagi do osób cierpiących na jakąkolwiek chorobę zniekształca wyniki porównania. W przypadku rozpatrywania pacjentów szpitalnych pozorna korelacja może nabierać różnej siły i znaku, zależnie od tego z jaką częstością konkretne zaburzenie wiąże się z hospitalizacją.
Matematyk Jordan Ellenberg przedstawił w artykule popularnonaukowym przykład dotyczący codziennych relacji: Przyjmijmy, że Aleksandra zawiera związki tylko z mężczyznami, których dobry charakter „plus” przystojność przekraczają jakąś wysoką wartość progową. Innymi słowy, mili mężczyźni nie muszą być bardzo przystojni, i vice versa, by mieć szanse u Aleksandry. W konsekwencji tego spośród mężczyzn, z jakimi miała ona bliskie relacje, mogła zaobserwować negatywną korelację: im mężczyzna przystojniejszy, tym gorszym charakterem się cechuje – niezależnie od tego, czy taka współzmienność naprawdę występuje w ogólnej populacji. Korelacja taka ma także znacząco oddalony od populacyjnych tendencji centralnych przebieg: należący do preferowanej podgrupy wyjątkowo mili mężczyźni są na tle ogólnej populacji ponadprzeciętnie przystojni (i vice versa); zaostrzenie kryteriów spowodowałoby jedynie nasilenie paradoksalnego rezultatu.
Przypisy
Berksona