To twierdzenie przypomina twierdzenie Lagrange’a w teorii grup, które łączy rząd grupy i indeks podgrupy; Teoria Galois pokazuje, że ta analogia jest czymś więcej niż tylko zbiegiem okoliczności.
Jeśli jest skończone, to twierdzenie nakłada silne ograniczenia na rodzaj ciał, które mogą wystąpić między i za pomocą prostych arytmetycznych zależności. Na przykład jeśli stopień jest liczbą pierwszą to dla dowolnego ciała pośredniego zachodzi jedno z dwojga: albo oraz w tym przypadku jest równe lub oraz w tym przypadku jest równe W takim razie nie istnieje żadne pośrednie rozszerzenie zawarte w
Dowód twierdzenia w przypadku skończonym Niech będą ciałami takimi, że oraz że i są skończone. W takim razie istnieje baza przestrzeni nad oraz baza przestrzeni nad Pokażemy, że elementy tworzą bazę a że jest ich dokładnie de, to znaczy, że wymiar wynosi de.
Najpierw musimy sprawdzić, że ten zbiór rozpina Niech będzie dowolnym elementem ponieważ tworzą bazę dla nad możemy znaleźć elementy w takie, że
Wtedy, jako że tworzą bazę dla nad możemy znaleźć elementy w takie, że dla każdego
Następnie za pomocą rozdzielności i łączności mnożenia w mamy
co pokazuje, że jest liniową kombinacja o współczynnikach z innymi słowy, rozpinają one nad
Po drugie, musimy sprawdzić, że są one liniowo niezależne nad Załóżmy że: