Odbiór Krytyczny El Hunt napisała w recenzji dla NME: „Choć auto-tune w wokalach Madonny, wyprodukowanych przez Mike’a Deana, może wywołać kontrowersje w tawernie, «Crave» w jakiś sposób nawiązuje do tradycyjnej, lizbońskiej muzyki fado. Być może Madonna nie wzruszy swoim melancholijnym nastojem publiczności na miejscowym miejskim placu, jest w «Crave» jednak pewna wrażliwość, związana ze zrezygnowaną i fatalną postawą pokolenia”. Mike Wass z portalu Idolator ocenił: „Piosenka, utrzymana w średnim tempie, jak seksowna (…). Duet przypomina czasy Hard Candy, ale tutaj nastrój jest łagodniejszy i bardziej romantyczny”. Rob Arcand ze „Spin” napisał: „Duet zdaje się odstawać charakterami, ale – co zaskakujące – świetnie do siebie pasuje”.
Komercyjny „Crave” zadebiutowało na 19. pozycji listy magazynu Billboard Adult Contemporary 8 czerwca 2019, co jest najwyższym debiutem Madonny w tym notowaniu. Również jest to jej pierwsza piosenka, która uplasowała się na tej liście w tej dekadzie od „Ghosttown” (2015). W następnym tygodniu piosenka uplasowała się na miejscu 15. 3 sierpnia piosenka uplasowała się na miejscu 11. na tej liście, stając się największym hitem piosenkarki w tym notowaniu od „Frozen” (1998). „Crave” od października 2019 plasowało się w notowaniu Dance Club Songs i 16 listopada stało się 49.