W okresie pomiędzy 24 października 1931 a 1 stycznia 1932 zdobył co najmniej jedną bramkę w 12 kolejnych ligowych meczach (łącznie 18), ustanawiając rekord angielskiej ekstraklasy.
Na początku 1932 roku władze Arsenal FC, prowadzonego przez Herberta Chapmana, złożyły za Dunne’a ofertę opiewającą na 10 tys. funtów, która została odrzucona. We wrześniu 1933 roku, z powodu problemów finansowych klubu, zaakceptowano kwotę transferową w wysokości 8250 funtów. W sezonie 1933/34 zdobył on 9 bramek w 21 występach i wywalczył mistrzostwo Anglii. Po przyjściu do klubu Teda Drake’a latem 1934 roku pełnił rolę jego zmiennika. W lutym 1935 odrzucono ofertę odkupienia go, złożoną przez Sheffield United FC. W lipcu 1936 roku odszedł do Southampton FC, dla którego na poziomie Second Division w 36 występach strzelił 14 bramek. W połowie 1937 roku odrzucił propozycję nowego kontraktu i odszedł do Shamrock Rovers FC, obejmując posadę grającego trenera. W latach 1937–1942 wywalczył z tym klubem dwukrotnie mistrzostwo Irlandii, krajowy puchar oraz dwukrotnie Puchar Ligi. W 1942 roku zakończył karierę zawodniczą.