Młody Henryk siedmioletnią szkołę powszechną i gimnazjum ukończył w Radomsku. Następnie uczęszczał do Państwowego Seminarium Nauczycielskiego Męskiego im. Tadeusza Kościuszki w Częstochowie, które ukończył w 1934 roku. Po otrzymaniu dyplomu przez rok pracował za darmo w siedmioletniej Szkole Powszechnej w Radomsku w roku szkolnym 1934/1935. W roku szkolnym 1936/1937 pracował w szkole w Strzyżewicach w gminie Kluki koło Bełchatowa. A w 1938 r. w szkole w Bąkowej Górze gmina Ręczno i Rzejowice gmina Kodrąb. 7 czerwca 1939 r. ożenił się z Zofią Składzińską, również nauczycielką.
Zaraz po wybuchu wojny dostał powołanie do wojska, w wyniku czego brał udział w kampanii wrześniowej. Od 1 stycznia 1941 roku do 31 grudnia 1944 r. prowadził tajne nauczanie w Lgocie Małej w wymiarze 18 godzin tygodniowo. Po wojnie przeprowadził się do Lgoty Małej wraz z żoną. Został kierownikiem tamtejszej szkoły, nauczał matematyki, fizyki i techniki. W 1946 r. objął opiekę społeczną nad sierotami zamieszkałymi na terenie gminy Konary rejon Lgota Mała. W 1948 r. Henryk Drzazga podjął starania, by zelektryfikować Lgotę Małą, Teklinów i przystanek PKP w Teklinowie. Pierwszą linię elektryczną założono jeszcze w tym samym roku.