konieczne jest uwzględnienie dodatkowego pośredniego włożenia tożsamościowego Izomorfizmami w Set są bijekcje. Obiektem początkowym w Set jest zbiór pusty bowiem dla dowolnego zbioru istnieje tylko jedna funkcja mianowicie funkcja pusta.
Innym przykładem jest kategoria Grp (oznaczana też Gr), której obiektami są grupy, a morfizmami – homomorfizmy grup. Jej podkategorią jest kategoria Ab grup abelowych i homomorfizmów. Mówimy, że jest to podkategoria pełna, bo ogranicza się tu jedynie klasę obiektów do grup przemiennych, a morfizmy pomiędzy obiektami tej podkategorii pozostają nadal te same. Izomorfizmami w Grp są izomorfizmy grup.
W podobny sposób definiuje się wiele innych kategorii, przyjmując za obiekty zbiory wyposażone w jakieś struktury (algebraiczne, topologiczne, porządkowe). Morfizmami są wówczas jakieś odpowiednio zdefiniowane przekształcenia, związane z tymi strukturami.
Jedną z takich kategorii jest Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są funkcje spełniające warunek Lipschitza: