Przykład Załóżmy, że jest krzywą prostowalną na płaszczyźnie i jest borelowsko mierzalna. Następnie możemy zdefiniować długość krzywej względem metryki euklidesowej pomnożonej przez Wyraża się to wzorem:
gdzie jest długością krzywej ograniczonej do przedziału w standardowej metryce euklidesowej. Taka całka jest nazywana -długością krzywej Pojęcie to jest bardzo przydatne w różnych zastosowaniach. Rozważmy na przykład błotnisty teren, na którym prędkość, z jaką człowiek może się poruszać, zależy od położenia. Gdyby oznaczało odwrotność tej prędkości w punkcie to -długość jest czasem potrzebnym na przejście wzdłuż krzywej Można to wykorzystywać w zagadnieniach wariacyjnych znajdowania drogi o najkrótszym czasie.
Całkowanie przez części Funkcję będziemy nazywali regularną w punkcie jeśli granice prawo- i lewostronna i istnieją, a do tego funkcja w przyjmuje wartość równą ich średniej arytmetycznej:
Dla danych dwóch funkcji i o wahaniu skończonym, jeśli w każdym punkcie przynajmniej jedna z nich jest ciągła lub też obie są regularne, to zachodzi wzór na całkowanie przez części dla całki Lebesgue’a-Stieltjesa: