Kariera klubowa Początki w Atalancie Bastoni rozpoczął swoją piłkarską przygodę w lokalnym klubie Rivarolo Mantovano, gdzie jego ojciec pełnił funkcję trenera. W wieku zaledwie 7 lat dołączył do akademii Atalanty Bergamo, słynącej z doskonałego szkolenia młodzieży. Przeszedł przez wszystkie szczeble juniorskie klubu z Bergamo, rozgrywając niemal 30 spotkań w drużynie U-17, zdobywając 6 bramek i przyczyniając się do zdobycia młodzieżowego mistrzostwa Włoch. Następnie awansował do drużyny Primavera, gdzie rozegrał 27 meczów i strzelił kolejne 6 goli, ugruntowując swoją pozycję jako jeden z najbardziej obiecujących młodych obrońców we Włoszech.
Po raz pierwszy znalazł się na ławce rezerwowych pierwszego zespołu 30 października 2016 roku, podczas meczu z Genoą. Miesiąc później, 30 listopada 2016 roku, zadebiutował w seniorskiej drużynie, grając pełne 90 minut w wygranym 3:0 meczu Pucharu Włoch przeciwko Pescarze.
Transfer do Interu i wypożyczenia 31 sierpnia 2017 roku Inter Mediolan ogłosił transfer Bastoniego za kwotę 31 milionów euro, jednocześnie wypożyczając go z powrotem do Atalanty na dwa sezony.