thumb|Wielomian nie ma pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych. Ciało rozkładu tego wielomianu otrzymuje się, rozszerzając wyjściowe ciało o jednostkę urojoną ukazaną powyżej na płaszczyźnie zespolonej Ciało rozkładu wielomianu – w teorii ciał rozszerzenie ciała o wszystkie pierwiastki pewnego wielomianu.
Definicja Dla danego ciała i dla wielomianu dodatniego stopnia o współczynnikach z tego ciała (a więc należącego do pierścienia wielomianów tego ciała, ), który rozkłada się w większym ciele na iloczyn wielomianów liniowych ciałem rozkładu tegoż wielomianu jest ciało powstałe przez rozszerzenie wyjściowego ciała o wszystkie pierwiastki tegoż wielomianu to znaczy Tak skonstruowane ciało rozkładu wielomianu jest podciałem .
Istnienie thumb|Parabola będąca wykresem wielomian Wykres nie przecina osi więc dla żadnej liczby rzeczywistej wielomian nie przyjmuje wartości – nie ma on pierwiastków w ciele liczb rzeczywistych i nie można go w nim rozłożyć na składowe. Można go natomiast rozłożyć w ciele liczb zespolonych stanowiących rozszerzenie liczb rzeczywistych, wtedy pierwiastkami są Dyskusję ciał rozkładu wielomianu Jerzy Browkin zaczyna od rozważenia istnienia takich ciał w ogóle. Mianowicie powyższa definicja wymaga rozkładu rozpatrywanego wielomianu na wielomiany liniowe.