Styl gry W trakcie kariery Argentyńczyk znany był z niebywałego przyśpieszenia, dryblingu oraz świetnej kontroli piłki. Jako młodzieniec trenował lekkoatletykę – skakał w dal oraz biegał na 100 i 200 metrów – dzięki czemu zyskał sobie przydomek „El Hijo del Viento” (Syn Wiatru)

W trakcie Mistrzostw Świata 1990, w spotkaniu z Kamerunem, Cannigia wykonał niezapomnianą akcję. W 89 minucie spotkania, piłkarz przejął piłkę przed polem karnym po czym, w szaleńczym biegu, minął dwóch kolejnych defensorów „Nieposkromionych Lwów”, akcję zakończył brutalny faul Benjamina Massinga, za który otrzymał czerwoną kartkę.

W reprezentacji Albicelestes i Boca Juniors, zawodnik tworzył duet z Diego Maradoną. Znakiem firmowym współpracy była akcja bramkowa przeprowadzona w trakcie spotkania 1/8 finału Mistrzostw Świata 1990, przeciwko Brazylii.