Startując w parze z Imre Szöllősim zwyciężył w wyścigach dwójek na 1000 metrów i na 10 000 metrów, a także zdobył srebrny medal w sztafecie K-1 4 × 500 metrów (oprócz Fábiána startowali w niej Szöllősi, Imre Kemecsey i György Mészáros) na mistrzostwach Europy w 1961 w Poznaniu. Na mistrzostwach świata w 1963 w Jajcach (które były również mistrzostwami Europy) Fábián zdobył dwa złote medale: w dwójce na 10 000 metrów (z Istvánem Tímárem i w czwórce na 10 000 metrów (z Timárem, Otto Koltaiem i László Ürögim.
Na mistrzostwach Europy w 1965 w Snagov zdobył razem z Szöllősim złoty medal w wyścigu K-2 na 10 000 metrów i brązowy medal w K-2 na 1000 metrów. Zwyciężył z Szöllősim w dwójkach na 10 000 metrów, a także zdobył srebrny medal w czwórkach na tym dystansie (z Szöllősim, Jánosem Petroczym i Ürögim) na mistrzostwach świata w 1966 w Berlinie. Zdobył złoty medal w K-2 na 10 000 metrów na mistrzostwach Europy w 1967 w Duisburgu (jego partnerem był Imre Kemecsey), a na mistrzostwach Europy w 1969 w Moskwie wywalczył srebrny medal w wyścigu K-4 na 10 000 metrów.
W 2006 został odznaczony Krzyżem Oficerskim Orderu Zasługi.