Szereg geometryczny – szereg postaci gdzie
jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a – ilorazem szeregu geometrycznego.
Sumy częściowe Wzór Jeśli szereg geometryczny ma iloraz to suma częściowa jego początkowych wyrazów wynosi: . Dowód Rozpatrzmy 2 przypadki: Niech szereg geometryczny ma iloraz . Wówczas , a z definicji ciągu geometrycznego , stąd: .Mnożąc obie strony przez , otrzymujemy .Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy .Wyłączając wspólny czynnik: .Ponieważ , można podzielić obie strony przez . Otrzymujemy: . Niech szereg geometryczny ma iloraz . Wówczas . Łącząc oba przypadki: , q.e.d.
Zbieżność szeregów geometrycznych Warunek równoważny Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lub Wówczas suma szeregu dana jest wzorem
Dowód Jeśli to gdyż Jeśli to dla każdego zachodzi: więc a zatem Od teraz załóżmy, że Jeśli to i na mocy kryterium d’Alemberta szereg jest rozbieżny. Jeśli to Jeśli to wyraz ogólny szeregu jest postaci Zatem
Stąd gdy liczba jest nieparzysta oraz gdy liczba jest parzysta.