Przykład takiego podstawienia może wyglądać następująco:
Rota stwierdził później, że konfuzja wynikała z nierozróżnienia trzech relacji równoważności, które często występują w rachunku umbralnym. Wszystkie one były notowane za pomocą znaku równości „”.
W artykule opublikowanym w 1964 roku Rota użył metod umbralnych w celu wyprowadzenia równania rekurencyjnego związanego z liczbami Bella.
W artykule Stevena M. Romana i Gian-Carlo Roty rachunek umbralny został scharakteryzowany jako kategoria algebry umbralnej, dziedziny matematyki zdefiniowanej jako algebra funkcjałów linearnych w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną w której iloczyn funkcjałów liniowych zdefiniowany jest jako:
Gdy ciągi wielomianowe zastępują ciągi liczbowe w taki sposób, że wynikiem jest szereg o elementach w postaci spełniający odwzorowanie liniowe wtedy metoda umbralna jest głównym komponentem generalnej teorii specjalnych wielomianów Roty.